Решение: решим уравнение \( \frac{1}{x(x-2)}-\frac{2}{(x-1)^2}=2\).
Найдем ОДЗ (область допустимых значений): знаменатель не равен нулю, т.е. \(x \ne 0; \quad x \ne 1; \quad x \ne 2\).
В знаменателе мы видим три члена, которые отличаются на 1 это x, x-1, x-2, поэтому целесообразно, для упрощения решения, ввести замену \(x-1=t => \quad x=t+1; \quad x-2 = t-1\) , подставляем $$\frac{1}{x(x-2)}-\frac{2}{(x-1)^2}=2 => \frac{1}{(t+1)(t-1)}-\frac{2}{t^2}=2 =>$$ после замены в знаменателе первой дроби можно применить формулу разности квадратов \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\), получили дроби, вид которых проще, теперь приведем разность дробей к общему знаменателю $$ \frac{1}{(t+1)(t-1)}-\frac{2}{t^2}=2 => \frac{1}{t^2-1}-\frac{2}{t^2}=2 =>$$$$ \frac{t^2 - 2t^2 + 2}{t^2(t^2-1)} = \frac{2t^2(t^2-1)}{t^2(t^2-1)} =>$$ дроби с равными знаменателями равны, если равны их числители, поэтому будем рассматривать чистители. Требование того, что знаменатель не равен 0, отражено в ОДЗ$$ t^2-2t^2+2 = 2t^2(t^2-1) => t^2-2t^2+2 = 2t^4-2t^2 => $$$$ 2t^4 -t^2-2 =0 =>$$ получили квадратное уравнение относительно \(t^2\), найдем его корни и учтем, что \(t^2 > 0\). $$ t^2_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4*2*2}}{2*2} => t^2_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$$ с учетом того, что \(t^2 > 0 \) остается только один корень применим обратную замену \(t = x-1 \) $$ t^2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} => (x-1)^2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} $$$$x_1 = 1 +\frac{\sqrt{1 + \sqrt{17}}}{2}; \quad x_2 = 1-\frac{\sqrt{1 + \sqrt{17}}}{2}$$
Ответ: решением уравнения \( \frac{1}{x(x-2)}-\frac{2}{(x-1)^2}=2\) являются \( x_1 = 1 +\frac{\sqrt{1 + \sqrt{17}}}{2}; \quad x_2 = 1-\frac{\sqrt{1 + \sqrt{17}}}{2} \)
