Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка\( y’’+2y’+10y=-\sin(2x)\)
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение \( y’’+2y’+10y = 0\)
Решение будем искать в виде \(y = e^{λx}\), тогда \(y' = λe^{λx}; \quad y'' = λ^2e^{λx}\). Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$ λ^2e^{λx}+2λe^{λx}+10e^{λx} = 0 =>$$ сокращаем на \(e^{λx}\), получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)$$λ^2 + 2λ + 10 = 0$$ найдем корни характеристического уравнения $$ λ_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4*10}}{2} = -1 \pm 3i$$ Получили комплексные корни им соответствуют два решения $$y_1(x) = e^{λ_1x} = e^{(-1+3i)x} = e^{-x}e^{3ix} = $$ фоспользуемся формулой Элера \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\), получаем $$ = e^{-x}(\cos(3x)+i\sin(3x)) = u(x) + iv(x)$$$$y_2(x) = e^{λ_1x} = e^{(-1-3i)x} = e^{-x}e^{-3ix} = $$$$ = e^{-x}(\cos(3x)-i\sin(3x)) = u(x) - iv(x)$$ Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения \(u(x) = e^{-x}\cos(3x)\) и \(v(x) = e^{-x}\sin(3x)\). Общее решение однородного уравнения будет иметь вид $$y_{одн} = C_1e^{-x}\cos(3x) + C_2e^{-x}\sin(3x)$$
2. Решаем неоднородное уравнение \( y’’+2y’+10y=-\sin(2x)\)
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем методом вариации произвольной переменной постоянной в виде \(y_{част}(x) = C_1(x)e^{-x}\cos(3x) + C_2(x)e^{-x}\sin(3x) \quad (1)\). Для нахождения функций \(C_1(x);C_2(x)\), подставим результаты в систему \(\begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}\) получаем $$ \begin{cases} C'_1(x)e^{-x}\cos(3x)+C'_2(x)e^{-x}\sin(3x) = 0\\ C'_1(x)e^{-x}(-\cos(3x)-3\sin(3x))+C'_2(x)(e^{-x}(3\cos(3 x)-\sin(3x))) = -\sin(2x) \end{cases} => $$$$ \begin{cases} C'_1(x)\cos(3x)+C'_2(x)\sin(3x) = 0\\ C'_1(x)(\cos(3x)+3\sin(3x))-C'_2(x)(3\cos(3 x)-\sin(3x)) = e^{x}\sin(2x) \end{cases} =>$$ решаем систему уравнений методом Крамера. Найдем определители системы уравнений $$\triangle = \left|\begin{array}{c} \cos(3x) & \sin(3x)\\ \cos(3x)+3\sin(3x) & -3\cos(3 x)+\sin(3x) \end{array}\right|= $$$$ -3\cos^2(3 x)+\sin(3x)\cos(3x) - \cos(3x)\sin(3x)-3\sin^2(3x) = -3$$ получили, что определитель системы не равен нулю, т.е. система уравнений имеет единственное решение
$$\triangle_1 = \left|\begin{array}{c} 0& \sin(3x)\\ e^{x}\sin(2x) & -3\cos(3 x)+\sin(3x) \end{array}\right|=$$$$ 0 - e^{x}\sin(2x)\sin(3x) = - e^{x}\sin(2x)\sin(3x)$$
$$\triangle_2 = \left|\begin{array}{c} \cos(3x)& 0 \\ \cos(3x)+3\sin(3x) & e^{x}\sin(2x) \end{array}\right|=$$$$ \cos(3x)e^{x}\sin(2x) - 0 = e^{x}\sin(2x)\cos(3x) $$
Находим решение системы уравненийц по формуле Крамера $$C'_1(x)= \frac{- e^{x}\sin(2x)\sin(3x)}{-3} = \frac{1}{3}e^{x}\sin(2x)\sin(3x)$$$$C'_2(x)= \frac{e^{x}\sin(2x)\cos(3x)}{-3} = -\frac{1}{3}e^{x}\sin(2x)\cos(3x)$$ Интегрируем полученные решения системы уравнений и получим искомые функции $$C_1(x)= \int \frac{1}{3}e^{x}\sin(2x)\sin(3x)dx = \frac{1}{156}e^x (-\cos(5x)+13(\cos(x)+\sin(x))-5\sin(5x)) +C_3$$
$$C_2(x)= -\int \frac{1}{3}e^{x}\sin(2x)\cos(3x)dx = - \frac{1}{156}e^x (13\cos(x)-5\cos(5x)-13\sin(x)+\sin(5x)) +C_4$$ пусть \(C_3=0;C_4=0\)
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения $$y_{неодн} = \frac{1}{156}e^x (-\cos(5x)+13(\cos(x)+\sin(x))-5\sin(5x))e^{-x}\cos(3x) -$$$$ - \frac{1}{156}e^x (13\cos(x)-5\cos(5x)-13\sin(x)+\sin(5x))e^{-x}\sin(3x) = $$$$ = \frac{1}{156} (-\cos(5x)+13(\cos(x)+\sin(x))-5\sin(5x))\cos(3x) - $$$$ - \frac{1}{156} (13\cos(x)-5\cos(5x)-13\sin(x)+\sin(5x))\sin(3x) =$$$$ = \frac{1}{26}(2\cos(2x)-3\sin(2x))$$
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида\(y_{об} = y_{одн} +y_{неодн} \)
подставляем результаты из п.1,п.2 $$y_{об} = C_1e^{-x}\cos(3x) + C_2e^{-x}\sin(3x) + \frac{1}{26}(2\cos(2x)-3\sin(2x))$$
4. Решаем задачу Коши при начальных условиях \(y(0) = 0; \quad y'(0)= \frac{3}{4}\)
Находим значение общего решения в точке $$y_{об}(0) = C_1e^{-0}\cos(3*0) + C_2e^{-0}\sin(3*0) + \frac{1}{26}(2\cos(2*0)-3\sin(2*0)) = 0 => $$$$ C_1 + \frac{1}{13} = 0 => C_1 = -\frac{1}{13} $$
Находим первую производную общего решения дифференциального уравнения$$y'_{об}(x) = (C_1e^{-x}\cos(3x) + C_2e^{-x}\sin(3x) + \frac{1}{26}(2\cos(2x)-3\sin(2x)))' = $$$$ -C_1e^{-x}\cos(3x) - 3C_1e^{-x}\sin(3x) - C_2e^{-x}\sin(3x)+ 3C_2e^{-x}\cos(3x) + \frac{1}{26}(-4\sin(2x)-6\cos(2x)) => $$$$y'_{об}(0) = -C_1e^{-0}\cos(3*0) - 3C_1e^{-0}\sin(3*0) - C_2e^{-0}\sin(3*0)+ $$$$ + 3C_2e^{-0}\cos(3*0) + \frac{1}{26}(-4\sin(2*0)-6\cos(2*0)) = \frac{3}{4} => $$$$ -C_1 + 3C_2 - \frac{6}{26} = \frac{3}{4} => -C_1 + 3C_2 = \frac{51}{52} $$ Составляем систему уравнений и находим постоянные \(C_1;C_2\) $$\begin{cases}C_1 = -\frac{1}{13} \\ -C_1 + 3C_2 = \frac{51}{52} \end{cases} => \begin{cases}C_1 = -\frac{1}{13} \\ C_2= \frac{47}{156}\end{cases}$$
Подставляем результат в п.3 $$y(x) = -\frac{1}{13}e^{-x}\cos(3x) + \frac{47}{156}e^{-x}\sin(3x) + \frac{1}{26}(2\cos(2x)-3\sin(2x))$$
Ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальному условию Каши $$y(x) = -\frac{1}{13}e^{-x}\cos(3x) + \frac{47}{156}e^{-x}\sin(3x) + \frac{1}{26}(2\cos(2x)-3\sin(2x))$$
