Решим дифференциальное уравнение: \(xy´=\sqrt{x^2+y^2}+y \)
Решение:
Определение: однородные дифференциальные уравнения могут быть представлены в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\) или \(M(x,y)dy + N(x,y)dy = 0\), где \(M(x,y)\) и \(NM(x,y)\) - однородные функции одинаковой степени. Для решения этих однородных дифференциальных уравнений применяется замена \(y = ux => dy = udx + xdu\) в результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем уравнение: $$xy´=\sqrt{x^2+y^2}+y=>$$проведем преобразования этого дифференциального уравнения, разделим на \(x\) обе части уравнения при этом \(x \ne 0\). $$ y´=\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}+\frac{y}{x}= >$$ это однородное дифференциальное уравнение первой степени вида \(y' = f(\frac{y}{x})\). Для решения дифференциального уравнения применяем замену \(y= ux => y' = u'x+u\), получаем $$ u'x+u =\sqrt{1+ u^2}+ u => u'x =\sqrt{1+ u^2} =>$$ получили дифференциальное уравнение первой степени с разделяющимися переменными, решим его, разделим переменные (x и u перенесем а разные стороны уравнения) $$ \frac{du}{dx}x =\sqrt{1+ u^2} => \frac{du}{\sqrt{1+ u^2}} = \frac{dx}{x}$$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{du}{\sqrt{1+ u^2}} = \int \frac{dx}{x} +C => $$$$ \int \frac{du}{\sqrt{1+ u^2}} = \ln(x) +\ln(C) \quad (1)$$ Найдем интеграл \(\int \frac{du}{\sqrt{1+ u^2}} = \int (1+ u^2)^{-\frac{1}{2}}du\) (можно найти в таблице интегралов)
Интегралы вида \(\int x^m(a+ bx^n)^pdx\), \(m, n, p \in Q \quad a, b \in R \) называются интегралами от дифференциального бинома \(x^m(a+ bx^n)^pdx\). Такие интегралы выражаются через элементарные функции, в данном случае применим третью замену Чебышева
если \(\frac{m+1}{n}+ p \in Z\) то применяется подстановка \(ax^{-n}+b = t^s\), где \(s\) знаменатель дроби \(p = \frac{k}{s}\)
Применяем замену
\(m = 0;a=1;b=1;n=2;p=-\frac{1}{2} \quad \) \(\frac{0+1}{2} - \frac{1}{2} =0\) , применяем подстановку \(u^{-2}+1 = t^2 => -2u^{-3}du = 2tdt => \) \( u^{-3}du = -tdt => u^{-1}du = -\frac{t}{t^2-1}dt\), подставляем в интеграл $$ \int (1+ u^2)^{-\frac{1}{2}}du = \int \frac{1}{u(\frac{1}{u^2}+ 1)^{\frac{1}{2}}}du =$$$$ -\int \frac{t}{(t^2-1)(t^2)^{\frac{1}{2}}}dt = -\int \frac{1}{t^2-1}dt = $$$$ = \frac{1}{2}\int ( \frac{1}{t+1}- \frac{1}{t-1})dt = \frac{1}{2}[\int \frac{1}{t+1}dt - \int \frac{1}{t-1}dt] = $$$$ = \frac{1}{2}[\ln(t+1) - \ln(t-1)] = \frac{1}{2}\ln(\frac{t+1}{t-1})$$ применяем обратную замену \(t^2 = u^{-2}+1 \) $$ = \frac{1}{2}\ln(\frac{\sqrt{u^{-2}+1}+1}{\sqrt{u^{-2}+1}-1}) = \frac{1}{2}\ln(\frac{\sqrt{u^2+1}+u}{\sqrt{u^2+1}-u}) = $$ знаменатель и числитель умножаем на сопряженное к знаменателю $$ = \frac{1}{2}\ln((\frac{\sqrt{u^2+1}+u)^2}{(\sqrt{u^2+1}-u)(\sqrt{u^2+1}+u)}) = \frac{1}{2}\ln((\sqrt{u^2+1}+u)^2) = $$$$ = \ln(\sqrt{u^2+1}+u)$$ подставляем в (1) $$ \int \frac{du}{ \sqrt{1+ u^2}} = \ln(xC) => \ln(\sqrt{u^2+1}+u) = \ln(xC) => $$$$ \sqrt{u^2+1}+u = xC $$ применяем обратную замену \(y= ux => u = \frac{y}{x}\), получаем $$ = \sqrt{(\frac{y}{x})^2+1}+\frac{y}{x} = xC => \sqrt{y^2+x^2}+ y = x^2C$$$$ \sqrt{y^2+x^2} = x^2C -y => $$$$ y^2+x^2 = x^4C^2 -2yx^2C+y^2 =>$$$$ 1 = x^2C^2 -2yC => y = \frac{x^2C^2-1}{2C}$$ Не забываем проверять, является ограничение \(x = 0\) решением дифференциального уравнения, подставляем и видим, что \(x = 0\) является решением.
Ответ: решение дифференциального уравнения \(y = \frac{x^2C^2-1}{2C} \)
