Исследуем функцию \( y = \ln \frac{x}{x-2}-2 \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область определения логарифма, т.е. \( \frac{x}{x-2} > 0 \) \(D_f= (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) \)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на области определения точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \ln \frac{-x}{-x-2}-2 \) функция является нечетной ни не четной. Рассматриваем поведение функции на всей области определения.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( \ln \frac{x}{x-2}-2 = 0 => x = \frac{2 e^2}{e^2 -1} \approx 2.31 \) точка пересечения с осью Ox. Координаты точки пересечения с осью Ox \(( 2.31; 0)\)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили три интервала знакопостоянства на области определения.
интервал \( (-\infty; 0) \) найдем значение функции в любой точке \( f(-1) = \ln \frac{x}{x-2} - 2 < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox.
интервал \( ( 2; 2.31) \) найдем значение функции в любой точке \( f(2.1) = \ln \frac{x}{x-2} - 2 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox.
интервал \(( 2.31; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \( f(3) = \ln \frac{x}{x-2} - 2 < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0 \), данная точка не попадает в область определения функции, т.е. точек пересечения осью Oy нет.
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \ln \frac{x}{x-2} - 2 )' = $$$$ = \frac{1}{ \frac{x}{x-2}}*\frac{x-2-x}{(x-2)^2} = -\frac{2}{x(x-2)}$$ приравняем к 0 $$ -\frac{2}{x(x-2)} = 0 =>$$ Критических точек функция не имеет.
Интервалы монотонности.
Функция не имеет критических точек (точек возможного экстремума), поэтому монотонность будем рассматривать на интервалах области определения:
интервал \( (-\infty; 0) \) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = -\frac{2}{x(x-2)} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((2; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(3) = -\frac{2}{x(x-2)} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Функция не имеет критических точек, поэтому не имеет и экстремумов.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( -\frac{2}{x(x-2)})'= 4\frac{x-1}{(x(x-2))^2}$$ Приравняем к нулю $$ 4\frac{x-1}{(x(x-2))^2} = 0 => x= 1$$
На рассматриваемых интервал области определения \( (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) \) функция не имеет точек возможного перегиба.
Рассмотрим выпуклость функции в пределах рассматриваемых интервалов.
интервал \( (-\infty; 0) \) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = 4\frac{x-1}{(x(x-2))^2} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \( (2; +\infty) \) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(3) = 4\frac{x-1}{(x(x-2))^2} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
На рассматриваемых интервалах функция не имеет точек, в которой вторая производная равна нулю - точка возможного перегиба. Точек перегиба нет.
8. Асимптоты.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \( y = \ln \frac{x}{x-2}-2 \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x} =k $$ Находим предел $$ \lim_{x \to \infty}\frac{ \ln \frac{x}{x-2}-2 }{x} = \frac{0 -2 }{ \infty} = 0$$ получили \(k=0\) график функции наклонной асимптоты не имеет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to \infty}f(x) = b$$ найдем предел $$\lim_{x \to \infty} ( \ln \frac{x}{x-2}-2) = 0 -2 =-2$$ график функции имеет горизонтальную асимптоту \(x = -2\) .
Вертикальная асимптота.
Рассмотрим поведение функции на границе области определения в рассматриваемых интервалах
интервал \((-\infty; 0) \), граница \( x = 0\)
\( \lim_{x \to 0-0} ( \ln \frac{x}{x-2}-2) = -\infty \) в окрестности левой границы график функции стремится в \( - \infty\)
интервал \( (2; +\infty) \), граница \( x = 2\)
\( \lim_{x \to 2+0} ( \ln \frac{x}{x-2}-2) = +\infty \) в окрестности правой границы график функции стремится в \( + \infty\)
9. График функции.
Построим график функции \( y = \ln \frac{x}{x-2}-2 \)
