Найдем вторую производную параметрически заданной функции \( \begin{cases}x= \frac{\cos(t)}{1+2\cos(t)} \\ y= \frac{\sin(t)}{1+2\cos(t)}\end{cases} \)
1. Применим формулу производной параметрически заданной функции \(y(x)' = \frac{y'(t)}{x'(t)}\)
$$y'(x)= \frac{( \frac{\sin(t)}{1+2\cos(t)})'}{(\frac{\cos(t)}{1+2\cos(t)})'}= \quad (1)$$
Находим отдельно производные числителя и знаменателя
2. Производная числителя:
\((\frac{\sin(t)}{1+2\cos(t)})'\) применяем формулу производной дроби \((\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\), получаем $$ (\frac{\sin(t)}{1+2\cos(t)})' = \frac{\cos(t)(1+2\cos(t)) + 2\sin(t)\sin(t)}{(1+2\cos(t))^2}$$
3. Производная знаменателя:
\(( \frac{\cos(t)}{1+2\cos(t)} )'\) применяем формулу производной дроби \((\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\), получаем $$ (\frac{\cos(t)}{1+2\cos(t)})' = \frac{-\sin(t)(1+2\cos(t)) + 2\cos(t)\sin(t)}{(1+2\cos(t))^2}$$
4. Подставляем результаты пунктов (2) и (3) в (1)
$$y'(x)= \frac{( \frac{\sin(t)}{1+2\cos(t)})'}{(\frac{\cos(t)}{1+2\cos(t)})'} = \frac{\frac{\cos(t)(1+2\cos(t)) + 2\sin(t)\sin(t)}{(1+2\cos(t))^2}}{ \frac{-\sin(t)(1+2\cos(t)) + 2\cos(t)\sin(t)}{(1+2\cos(t))^2}} = $$$$ = \frac{\cos(t)(1+2\cos(t)) + 2\sin(t)\sin(t)}{-\sin(t)(1+2\cos(t)) + 2\cos(t)\sin(t)} = \frac{\cos(t)+2\cos^2(t) + 2\sin^2(t)}{-\sin(t)-2\cos(t)\sin(t) + 2\cos(t)\sin(t)} = -\frac{\cos(t)+2}{\sin(t)}$$
5. Находим вторую производную
$$y''(x) = (y'(x))' = (-\frac{\cos(t)+2}{\sin(t)})' = $$$$ = - \frac{ -\sin(t)\sin(t) - (\cos(t)+2)\cos(t)}{\sin^2(t)} = - \frac{ -\sin^2(t) - \cos^2(t)-2\cos(t)}{\sin^2(t)} = $$$$ = \frac{1+2\cos(t)}{\sin^2(t)} $$
Ответ: вторая производная функции, заданной параметрически равна \( y''_x = \frac{1+2\cos(t)}{\sin^2(t)} \)
