Ищем наименьшее и наибольшее значения функции \( y= \sqrt[3]{2x^2(x-3)} \) на отрезке \( [-1, 6] \).
Наибольшим, наименьшим значением функции на отрезке могут быть точки минимума, максимума или значения функции на концах отрезка.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1. Находим стационарные точки:
Для нахождения стационарных точек найдем первую производную и приравняем ее у нулю $$y' = ( \sqrt[3]{2x^2(x-3)})' = ( (2x^3-6x^2))^{\frac{1}{3}})' = $$$$ = \frac{1}{3}\frac{1}{(2x^3-6x^2)^\frac{2}{3}}(6x^2-12x) = 2x\frac{x-2}{(2x^3-6x^2)^\frac{2}{3}} $$ приравняем производную к нулю $$ y' = 2x\frac{x-2}{(2x^3-6x^2)^\frac{2}{3}} = 0 => x = 0; \quad x=2$$ функция имеет две стационарные точки \(x=0\), которая совпала с левой границей отрезка и \( x=2\) .
2 Выбираем из полученных стационарных точек те, которые принадлежат заданному отрезку.
Функция \(y\) отрезке [-1, 6] имеет точку вероятного экстремума (минимума, максимума) \(x = 0; \quad x=3\).
3. Находим значения функции в выбранной стационарной точке (см п.2).
Найдем значение функции в этих точках $$f(0)= \sqrt[3]{2x^2(x-3)} = 0$$$$f(2)= \sqrt[3]{2x^2(x-3)} = -2$$
4. Находим значения функции на концах заданного отрезка:
$$f(-1)= \sqrt[3]{2x^2(x-3)} = \sqrt[3]{2*(-4)}= -2$$
$$f(6)= \sqrt[3]{2x^2(x-3)} = \sqrt[3]{2*6^2(6-3)}= 6$$
5. Из полученных значений функции (п.3 и п.4) выбираем наибольшее и наименьшее значения.
Сравниваем результаты, полученные в п.3 и п.4
Наибольшее значение выбираем из точек максимума (если есть) и значений функции на концах отрезка.
Наименьшее значение выбираем из точек минимума (если есть) и значений функции на концах отрезка.
Наибольшее значение функции на отрезке - значение функции в правой границе отрезка \(f(6) = 6 \)
Наименьшее значение функции на отрезке - значение функции в левой границе отрезка \(f(-1) =-2 \) и точке минимума \(x = 0\)
Проверяем полученный результат, строим график функции:
