Исследуем функцию y = x*e^{-2x^2} и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции D_f=(-\infty;+\infty)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва т.е. ОДЗ x \in R.
3. Четность функции.
Проверяем на четность f(-x) = -(x)*e^{-2(-x)^2} = -x*e^{-2x^2} функция является нечетной, т.е. она симметрична относительно начала координат, поэтому далее будем исследовать функцию на интервале [0; +\infty) , график функции на интервале (-\infty;0) получим путем симметричного переноса графика, полученного на интервале [0; +\infty) относительно начала координат O(0;0).
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем y=0, получим x*e^{-2x^2} = 0 => x = 0 , т.е кривая пересекает ось Ox в точке с координатами (0;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять x=0, y = x*e^{-2x^2}=> y =0, точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;0)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили точку пересечения с осью Ox с координатами (0;0), она разделила ось на два интервала знакопостоянства функции. Рассматриваем интервал знакопостоянства на исследуемом интервале [0; +\infty)
Определим знак функции на этом интервале
интервал (0; + \infty) найдем значение функции в любой точке f(2) = 2*e^{-2*2^2} > 0 , т.е. на этом интервале функция положительная f(x) > 0 , т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю y' = ( x*e^{-2x^2})' = e^{-2x^2} + x*e^{-2x^2}*(-4x) =
= e^{-2x^2}(1 - 4x^2)
приравняем к 0
e^{-2x^2}(1 - 4x^2) = 0 => 1 - 4x^2 = 0 => x = \pm \frac{1}{2}
функция имеет две критические (стационарные) точки, т.е. две точки возможного экстремума функции. Точка
x = \frac{1}{2} лежит на рассматриваемом интервале и делит интервал на два интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал (0; \frac{1}{2}) найдем значение первой производной в любой точке интервала f(\frac{1}{4}) = e^{-2x^2}(1 - 4x^2) > 0, т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал (\frac{1}{2}; +\infty) найдем значение первой производной в любой точке интервала f(1) = e^{-2x^2}(1 - 4x^2) < 0, т.е. на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили на исследуемом интервале одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка x=\frac{1}{2} производная меняет знак с \quad + \quad 0 \quad - \quad - точка максимума. Координаты точки максимума f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{e}} \approx 0.3 => (\frac{1}{2}; 0.3)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю y'' = (e^{-2x^2}(1 - 4x^2))' = -4xe^{-2x^2}(1 - 4x^2) - 8x*e^{-2x^2} =
= -4x*e^{-2x^2} +16x^3e^{-2x^2} - 8x*e^{-2x^2} = 4xe^{-2x^2}(4x^2 - 3)
Приравняем к нулю
4xe^{-2x^2}(4x^2 - 3) = 0 => x(4x^2 - 3) = 0 => x_{1} =0; \quad x_{2,3} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
Две точки
x = 0; \quad x = \frac{\sqrt{3}}{2} попадают в рассматриваемый интервал.
Для анализа этих точек рассмотрим три интервала выпуклости
интервал (-\frac{\sqrt{3}}{2};0) найдем значение второй производной в любой точке f''(-0.5) = 4xe^{-2x^2}(4x^2 - 3) > 0, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная f''(x) > 0 - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал (0; \frac{\sqrt{3}}{2}) найдем значение второй производной в любой точке f''(0.5) = 4xe^{-2x^2}(4x^2 - 3) < 0, т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная f''(x) < 0 - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал ( \frac{\sqrt{3}}{2};+\infty) найдем значение второй производной в любой точке f''(1) = 4xe^{-2x^2}(4x^2 - 3) > 0, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная f''(x) > 0 - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
В точке x = 0 вторая производная меняет знак с \quad + \quad 0 \quad - \quad, график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба с координатами (0;0).
В точке x =\frac{\sqrt{3}}{2} вторая производная меняет знак с \quad - \quad 0 \quad + \quad, график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба,
найдем вторую координату точки перегиба f(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 0.19.
Координаты точки перегиба (0.87; 0.19)
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. ОДЗ x \in R
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции y = x*e^{-2x^2} при x \to \infty имел наклонную асимптота y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела \lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k
находим его
\lim_{x \to +\infty}\frac{x*e^{-2x^2}}{x} = 0 => k= 0
и второй предел
\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b
Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел
\lim_{x \to +\infty}f(x) = b
найдем его
\lim_{x \to +\infty} x*e^{-2x^2} = 0
Получили, что график функции имеет горизонтальную асимптоту y=0.
8. Построить график функции.
