Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми \(3x^2-4y=0\) и \(2x+4y-1=0\)
Построим кривые:
1. \(3x^2-4y=0 = > y = \frac{3}{4}x^2\) - уравнение параболы, проходящей через начало координат с осями направленными вверх.
2. \(2x+4y-1=0 = > y = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x \) - уравнение прямой.
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры \(BCO\)
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми \(y_1=g(x)\) и \(y_2=f(x)\), причем функция \(f(x) >g(x)\), то определенный интеграл \(S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx\) равен площади фигуры этой фигуры.
Согласно условия задачи \(y_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x ; y_1 = \frac{3}{4}x^2 \), тогда искомая площадь фигуры \(BCO\) равна $$S_{BCO} = \int_A^D(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}x^2)dx $$ для нахождения интеграла нужно найти координаты точек A и D. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений $$\begin{cases}y= \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x \\ y = \frac{3}{4}x^2 \end{cases} => \begin{cases}\frac{3}{4}x^2= \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x\\ y =\frac{3}{4}x^2 \end{cases} => $$$$ \begin{cases}x_1=-1;x_2=\frac{1}{3}\\y_1=\frac{3}{4};y_2 = \frac{1}{12} \end{cases}$$ Подставляем координаты \(x\) точек в интеграл $$S_{BCO} = \int_{-1}^{\frac{1}{3}}(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}x^2)dx = \frac{1}{4} \int_{-1}^{\frac{1}{3}}( 1 - 2x - 3x^2)dx =$$ Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем $$ = \frac{1}{4}( x - x^2 - x^3)|_{-1}^{\frac{1}{3}} = \frac{8}{27}$$
Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями \(y = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x ; \quad y = \frac{3}{4}x^2\) равна \(S_{BCO} = \frac{8}{27} \)
