Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми 3x^2-4y=0 и 2x+4y-1=0
Построим кривые:
1. 3x^2-4y=0 = > y = \frac{3}{4}x^2 - уравнение параболы, проходящей через начало координат с осями направленными вверх.
2. 2x+4y-1=0 = > y = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x - уравнение прямой.
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры BCO
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми y_1=g(x) и y_2=f(x), причем функция f(x) >g(x), то определенный интеграл S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx равен площади фигуры этой фигуры.
Согласно условия задачи y_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x ; y_1 = \frac{3}{4}x^2 , тогда искомая площадь фигуры BCO равна S_{BCO} = \int_A^D(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}x^2)dx
для нахождения интеграла нужно найти координаты точек A и D. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений
\begin{cases}y= \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x \\ y = \frac{3}{4}x^2 \end{cases} => \begin{cases}\frac{3}{4}x^2= \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x\\ y =\frac{3}{4}x^2 \end{cases} =>
\begin{cases}x_1=-1;x_2=\frac{1}{3}\\y_1=\frac{3}{4};y_2 = \frac{1}{12} \end{cases}
Подставляем координаты
x точек в интеграл
S_{BCO} = \int_{-1}^{\frac{1}{3}}(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}x^2)dx = \frac{1}{4} \int_{-1}^{\frac{1}{3}}( 1 - 2x - 3x^2)dx =
Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница
\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a), получаем
= \frac{1}{4}( x - x^2 - x^3)|_{-1}^{\frac{1}{3}} = \frac{8}{27}
Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями y = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x ; \quad y = \frac{3}{4}x^2 равна S_{BCO} = \frac{8}{27}
