Loading Web-Font TeX/Main/Regular
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислите площадь плоской фигуры,ограниченной указанными линиями 3x^2-4y=0; \quad 2x+4y-1=0.


0 Голосов
Чалей Яна Вик�
Posted Март 2, 2015 by Чалей Яна Викторовна
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 6469

Вычислите площадь плоской фигуры,ограниченной указанными линиями  3x^2-4y=0; \quad 2x+4y-1=0. Сделать чертёж. 

Теги: найти площадь фигуры ограниченную линиями, вычислить площадь плоских фигур

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Март 2, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми 3x^2-4y=0 и 2x+4y-1=0


Построим кривые:
1.  3x^2-4y=0 = > y = \frac{3}{4}x^2 - уравнение параболы, проходящей через начало координат с осями направленными вверх.
2.  2x+4y-1=0 = > y = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x - уравнение прямой. 
Строим рисунок:
Нужно найти площадь криволинейной фигуры BCO



Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми y_1=g(x) и y_2=f(x), причем  функция f(x) >g(x), то определенный интеграл S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx равен площади фигуры этой фигуры.


Согласно условия задачи y_2 =  \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x ; y_1 = \frac{3}{4}x^2 , тогда искомая площадь фигуры BCO равна S_{BCO} = \int_A^D(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}x^2)dx

для нахождения интеграла нужно найти координаты точек A и D. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений \begin{cases}y= \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x \\ y = \frac{3}{4}x^2 \end{cases} => \begin{cases}\frac{3}{4}x^2= \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x\\ y =\frac{3}{4}x^2 \end{cases} =>
\begin{cases}x_1=-1;x_2=\frac{1}{3}\\y_1=\frac{3}{4};y_2 = \frac{1}{12} \end{cases}
 Подставляем координаты x точек в интеграл S_{BCO} = \int_{-1}^{\frac{1}{3}}(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}x^2)dx = \frac{1}{4} \int_{-1}^{\frac{1}{3}}( 1 - 2x - 3x^2)dx =
  Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a), получаем   = \frac{1}{4}( x - x^2 - x^3)|_{-1}^{\frac{1}{3}} = \frac{8}{27}


Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями y =  \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x ; \quad y = \frac{3}{4}x^2 равна S_{BCO} = \frac{8}{27}