Решение: найдем неопределенный интеграл \( \int \frac{x^2+\sqrt{1+x}}{3\sqrt{1+x}}dx\).
Применим метод замены независимой переменной, избавимся от иррациональности, введем замену \( 1+x = t^2 => dx = 2tdt;\quad x = t^1-1\), подставляем в интеграл $$\int \frac{x^2+\sqrt{1+x}}{3\sqrt{1+x}}dx = \int \frac{(t^2-1)^2+\sqrt{t^2}}{3\sqrt{t^2}}2tdt = $$$$ = \int \frac{(t^2-1)^2+t}{3t}2tdt = \frac{2}{3}\int (t^2-1)^2+t)dt = $$$$ = \frac{2}{3}\int (t^4 - 2t^2 +1 +t)dt = $$ применим формулу интеграла от степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем $$ = \frac{2}{3}( \frac{1}{5}t^5 - \frac{2}{3}t^3+\frac{1}{2}t^2 +t) +C = $$применяем обратную замену \(t = (1+x)^{\frac{1}{2}}\) $$ = \frac{2}{3}( \frac{1}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}(x+1)^{ \frac{3}{2}}+\frac{1}{2}(x+1) +\sqrt{x+1}) +C = $$$$ = \frac{1}{3}( \frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3}(x+1)^{ \frac{3}{2}}+x + 2\sqrt{x+1}) +C_1$$
Ответ: \( \int \frac{x^2+\sqrt{1+x}}{3\sqrt{1+x}}dx = \) \( = \frac{1}{3}( \frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3}(x+1)^{ \frac{3}{2}}+x + 2\sqrt{x+1}) +C_1 \)
