1. Найдем область определения функции. Областью определения будут все значения \(x\) , кроме \(x^2 = 4 => x = \pm 2\). Т.о. областью определения \(D_f = \forall x \in (-\infty; -2) \cup (-2;2) \cup (2;+\infty))\). Исследуем поведение функции на концах интервалов $$\lim_{x \to -\infty}\frac{x}{x^2-4} = \lim_{x \to -\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x^2}} = \frac{0_{-0}}{1-0} = 0_{-0}$$$$\lim_{x_{-0} \to -2}\frac{x}{x^2-4} = \frac{-2}{4_{+0}-4} = \frac{-2}{0_{+0}} = -\infty$$$$\lim_{x_{+0} \to -2}\frac{x}{x^2-4} = \frac{-2}{4_{-0}-4} = \frac{-2}{0_{-0}}= +\infty$$$$\lim_{x_{-0} \to 2}\frac{x}{x^2-4} = \frac{-2}{4_{-0}-4} = \frac{-2}{0_{-0}}= +\infty$$$$\lim_{x_{+0} \to 2}\frac{x}{x^2-4} = \frac{-2}{4_{+0}-4} = \frac{-2}{0_{+0}}= -\infty$$$$\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x^2}} = \frac{0_{+0}}{1-0} = 0_{+0}$$
2. Найдем точки пересечения с осями координат \(Ox\) и \(Oy\).
Точка пересечения с осью \(Ox\): \(y = 0 => \frac{x}{x^2-4} =0 => x=0\), точка пересечения с осью имеет координаты \((0;0)\)
Точки пересечения с осью \(Oy\): \(x = 0 =>y= \frac{x}{x^2-4} => y= \frac{0}{0^2-4} => y=0\), точка пересечения с осью имеет координаты \((0;0)\)
3. Исследуем функцию на четность $$f(-x)= \frac{-x}{(-x)^2-4} = - \frac{x}{x^2-4} = -f(x)$$ получили, что функция нечетная, т.е. она симметричная относительно начала координат.
4.Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Необходимым условием существования экстремума является равенство первой производной 0 \(f'(a) = 0\). Вычислим первую производную и найдем стационарные точки (точки \(a\) в которых \(f'(a) =0\) первая производная равно 0, это могут быть кочки экстремумов и точки перегибов) $$y'= (\frac{x}{x^2-4})' = \frac{(x'*(x^2-4) - x*(x^2-4)')}{(x^2-4)^2} = \frac{(x^2-4 - x*2x)}{(x^2-4)^2} = -\frac{(x^2+4)}{(x^2-4)^2} $$приравняем первую производную к 0 \(y' = -\frac{(x^2+4)}{(x^2-4)^2} = 0\) из уравнения видно, что \(x^2+4 \ne 0\), т.е. первая производная ни при каких значениях \(x\) не будет равна 0, т.е. на интервалах обрасти определения не меняет свою монотонность и у нее нет экстремумов. Анализируя первую производную видно, что числитель и знаменатель на всей области допустимых значений больше 0, а знак "-" указывает, что производная всегда отрицательная. Вывод: функция убывающая на всех участках области определения.
5.Исследуем функцию на выпуклость и наличие точек перегиба. Для этого найдем вторую производную $$(f'(x))' = (-\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2})' = -\frac{(x^2+4)'*(x^2-4)^2 - (x^2+4)*((x^2-4)^2)'}{(x^2-4)^4}=$$$$=-\frac{2x*(x^2-4)^2 - (x^2+4)*2(x^2-4)*2x}{(x^2-4)^4}=-\frac{2x*((x^2-4) - 2*(x^2+4))}{(x^2-4)^3}=$$$$-\frac{2x*(x^2-4 - 2*x^2-8)}{(x^2-4)^3}=\frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3}$$Найдем точки перегиба. Необходимым условием существования точки перегиба является равенство второй производной 0 \(f''(a) =0\). Приравняем вторую производную к 0 $$\frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3} = 0 => x=0$$Достаточным условием существования перегиба является изменение знака второй производной при переходе через точку \(f''(a)\). Получим знак второй производной в окрестности точки \(a = x= 0\), слева от точки \( x=0 \) $$f''(-1) = \frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3} = \frac{2*(-1)*((-1)^2+4)}{((-1)^2-4)^3} >0$$функция выпукла вниз, справа от точки \(x=0\) $$ f''(1) = \frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3} = \frac{2*1*(1^2+4)}{(1^2-4)^3} < 0 $$, функция выпукла вверх. Получили, что в точке \((0;0)\) вторая производная меняет знак с "+" на "-", т.е. эта точка является точкой перегиба.
Рассмотрим выпуклость графика функции на оставшихся интервалах
\((-\infty; -2)\): \(f''(-3) = \frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3} = \frac{2(-3)*((-3)^2+4)}{((-3)^2-4)^3} < 0 \) - функция выпукла вверх
\((2; +\infty)\): \(f''(3) = \frac{2x*(x^2+4)}{(x^2-4)^3} = \frac{23*(3^2+4)}{(3^2-4)^3} > 0 \) - функция выпукла вниз
6. Найдем асимптоты графика функции. При изучении области определения функции и поведения ее на концах интервалов области определения было получено, что $$\lim_{x_{-0} \to -2}\frac{x}{x^2-4} = -\infty$$$$\lim_{x_{+0} \to -2}\frac{x}{x^2-4} = + \infty$$$$\lim_{x_{-0} \to 2}\frac{x}{x^2-4} = -\infty$$По определению вертикальной асимптоты: прямая \(x=a\), является вертикальной асимптотой графика функции \(y = f(x)\), если хотя бы один из пределов \(\lim_{x \to a_{+0}}\) или \(\lim_{x \to a_{-0}}\) равен \(+\infty\) или \(-\infty\). Т.о. прямые \(x=-2;x=2\) являются вертикальными асимптотами.
Проверим имеет ли график функции наклонную асимптоту. Найдем предел $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = k$$ где \(k\) - угловой коэффициент наклонной асимптоты (прямой). $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x^2-4}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2-4} = 0 => k = 0$$наклонной асимптоты график функции не имеет.
7. Построим график функции.
- наносим вертикальные асимптоты \(x=-2; x=2\)
- наносим точку пересечения с осями \((0;0)\)
- на интервале \((-\infty; -2)\) график асимптотически приближается к оси \(Ox\) при \(x \to -\infty\) снизу, далее монотонно убывает с выпуклостью вверх и при приближении к вертикальной асимптоты \(x = -2\) стремится к \(-\infty\)
- на интервале \((-2;2)\) от вертикальной асимптоты \(x = -2\) график от \(+\infty\) монотонно убывает с выпуклостью вниз до точки \((0;0)\), где меняет выпуклость, становится выпуклой вверх, продолжает убывать асимптотически приближаясь \(y \to -\infty\) к асимптоте \(x=2\)
- на интервале \((2;+\infty)\) от вертикальной асимптоты \(x = 2\) график от \(+\infty\) монотонно убывает с выпуклостью вниз, асимптотически приближаясь к оси \(Ox\) сверху
Строим график функции
