Задача: На первой полке стоят 4 учебника и 2 задачника,
на второй - 2 учебника и 3 задачники.
Случайным образом с первой полки на вторую переставили одну книгу, потом со второй наугад взяли одну книгу.
Найти:
1) вероятность того, что взяли учебник;
2) взятая книга оказалась учебником.
Какова вероятность того, что с первой полки на вторую был переставлен:
а) учебник
б) задачник
Решение:
Введем обозначение: обозначим через \(A\) - событие, состоящее в том, что взяли учебник со второй полки.
Обозначим через гипотезы
\(H_1\) - с первой полки на вторую переставили учебник
\(H_2\) - с первой полки на вторую переставили задачник
Вычислим вероятности гипотез \(P(H_1);P(H_2)\) и условные вероятности \(P(A/H_1); P(A/H_2)\)
Вероятности гипотез будем искать по формуле классического определения вероятностей \(P = \frac{m}{n}\)
Найдем \(P(H_1)\)
\(n\) - число всех равновозможных исходов, была выбрана любая 1 книга из 4+2=6, т.е. \(n=6\)
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию выбрали 1 учебник из 4, т.е \(m=4\)
получаем $$P(H_1) = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} =\frac{2}{3} $$
Найдем \(P(H_2)\)
\(n\) - число всех равновозможных исходов, была выбрана любая 1 книга из 4+2=6, т.е. \(n=6\)
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию выбрали 1 задачник из 2, т.е \(m=2\)
получаем $$P(H_2) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
Найдем условные вероятности
Найдем \(P(A/H_1)\)
на вторую полку переставили учебник, тогда вероятность того, что со второй полки был взят учебник равна
\(n\) - число всех равновозможных исходов, была выбрана любая 1 книга из 2+3+1=6, т.е. \(n=6\)
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию \(A\), выбрали 1 учебник из 2+1=3, т.е \(m=3\)
получаем вероятность, что со второй полки связи учебник равна $$P(A/H_1) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} =\frac{1}{2} $$
Найдем \(P(A/H_2)\)
на вторую полку переставили задачник, тогда вероятность того, что со второй полки был взят учебник равна
\(n\) - число всех равновозможных исходов, была выбрана любая 1 книга из 2+3+1=6, т.е. \(n=6\)
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию \(A\), выбрали 1 учебник из 2, т.е \(m=2\)
получаем $$P(H_2) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
а) найти вероятность того, что взяли учебник;
применим формулу полной вероятности \(P(A) = \sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)\), получаем $$P(A) = P(H_1)P(A/H_1) + P(H_2)P(A/H_2) = \frac{2}{3}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\frac{1}{3} = \frac{4}{9}$$
2) взятая книга оказалась учебником.
Какова вероятность того, что с первой полки на вторую был переставлен:
а) учебник
б) задачник
Для ответа на второй вопрос применим формулу Бейеса \(P(H_i/A) = \frac{P(H_i)P(A/H_i)}{P(A)}\)
а) взятая книга оказалась учебником. Вероятность того, что с первой полки вторую был переставлен учебник равна $$P(H_1/A) = \frac{P(H_1)P(A/H_1)}{P(A)} = \frac{\frac{2}{3}\frac{1}{2}}{\frac{4}{9}} = \frac{3}{4} $$
а) взятая книга оказалась учебником. Вероятность того, что с первой полки вторую был переставлен задачник равна $$P(H_2/A) = \frac{P(H_2)P(A/H_2)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{4} $$
