Задача: На первой полке стоят 4 учебника и 2 задачника,
на второй - 2 учебника и 3 задачники.
Случайным образом с первой полки на вторую переставили одну книгу, потом со второй наугад взяли одну книгу.
Найти:
1) вероятность того, что взяли учебник;
2) взятая книга оказалась учебником.
Какова вероятность того, что с первой полки на вторую был переставлен:
а) учебник
б) задачник
Решение:
Введем обозначение: обозначим через A - событие, состоящее в том, что взяли учебник со второй полки.
Обозначим через гипотезы
H_1 - с первой полки на вторую переставили учебник
H_2 - с первой полки на вторую переставили задачник
Вычислим вероятности гипотез P(H_1);P(H_2) и условные вероятности P(A/H_1); P(A/H_2)
Вероятности гипотез будем искать по формуле классического определения вероятностей P = \frac{m}{n}
Найдем P(H_1)
n - число всех равновозможных исходов, была выбрана любая 1 книга из 4+2=6, т.е. n=6
m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию выбрали 1 учебник из 4, т.е m=4
получаем P(H_1) = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} =\frac{2}{3}
Найдем P(H_2)
n - число всех равновозможных исходов, была выбрана любая 1 книга из 4+2=6, т.е. n=6
m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию выбрали 1 задачник из 2, т.е m=2
получаем P(H_2) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
Найдем условные вероятности
Найдем P(A/H_1)
на вторую полку переставили учебник, тогда вероятность того, что со второй полки был взят учебник равна
n - число всех равновозможных исходов, была выбрана любая 1 книга из 2+3+1=6, т.е. n=6
m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A, выбрали 1 учебник из 2+1=3, т.е m=3
получаем вероятность, что со второй полки связи учебник равна P(A/H_1) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} =\frac{1}{2}
Найдем P(A/H_2)
на вторую полку переставили задачник, тогда вероятность того, что со второй полки был взят учебник равна
n - число всех равновозможных исходов, была выбрана любая 1 книга из 2+3+1=6, т.е. n=6
m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A, выбрали 1 учебник из 2, т.е m=2
получаем P(H_2) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
а) найти вероятность того, что взяли учебник;
применим формулу полной вероятности P(A) = \sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i), получаем P(A) = P(H_1)P(A/H_1) + P(H_2)P(A/H_2) = \frac{2}{3}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\frac{1}{3} = \frac{4}{9}
2) взятая книга оказалась учебником.
Какова вероятность того, что с первой полки на вторую был переставлен:
а) учебник
б) задачник
Для ответа на второй вопрос применим формулу Бейеса P(H_i/A) = \frac{P(H_i)P(A/H_i)}{P(A)}
а) взятая книга оказалась учебником. Вероятность того, что с первой полки вторую был переставлен учебник равна P(H_1/A) = \frac{P(H_1)P(A/H_1)}{P(A)} = \frac{\frac{2}{3}\frac{1}{2}}{\frac{4}{9}} = \frac{3}{4}
а) взятая книга оказалась учебником. Вероятность того, что с первой полки вторую был переставлен задачник равна P(H_2/A) = \frac{P(H_2)P(A/H_2)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{4}
