Задача: Комплект из 50 изделий содержит 30% нестандартных, причем 40% нестандартных изделий являются бракованными.
Найти вероятность толь,что среди 5 изделий, наугад взятых из комплекса: а) только 3 бракованные; б) нет бракованных.
Решение: рассмотрим состав комплекта из 50 изделий, из которых
30% - 15 изделий нестандартные
70% - 35 изделий стандартные
среди нестандартных 15 -ти изделий 40% - 6 - бракованные.
Найдем:
а) среди 5 изделий, наугад взятых из комплекса только 3 бракованные;
введем обозначение: событие \(A\) - наугад взяли 3 бракованные изделия из 5 изделий.
Для нахождения вероятности применим формулу гипергеометрического распределения:
$$P_m = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} $$ где
\(N\) - общее количество изделий \(N = 50\),
\(M\) - количество изделий исправных \(M=50-6=44\),
\(N-M\) - количество бракованных \(N-M=6\),
\(n\) - количество изделий выбранных \(n = 5\)
\(m\) - количество исправных изделий среди выбранных \(m = 2\)
\(n-m\) - количество бракованных изделий среди выбранных \(n-m = 3\)
$$P_m(n) = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} = \frac{C_{44}^{2}C_{6}^{3}}{C_{50}^{5}}=$$$$ = \frac{44!}{2!42!}*\frac{6!}{3!3!}* \frac{5!45!}{50!} = 0.0089$$
Ответ: вероятность того, что среди 5 изделий, наугад взятых из комплекса только 3 бракованные равна \(P_3(5) = 0.0089\)
б) среди 5 изделий, наугад взятых из комплекса нет бракованных.;
введем обозначение: событие \(A\) - из 5-ти наугад взятых изделий нет бракованных.
Для нахождения вероятности применим формулу гипергеометрического распределения:
$$P_m = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} $$ где
\(N\) - общее количество изделий \(N = 50\),
\(M\) - количество изделий исправных \(M=50-6=44\),
\(N-M\) - количество бракованных \(N-M=6\),
\(n\) - количество изделий выбранных \(n = 5\)
\(m\) - количество исправных изделий среди выбранных \(m = 5\)
\(n-m\) - количество бракованных изделий среди выбранных \(n-m = 0\)
$$P_0(n) = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} = \frac{C_{44}^{5}C_{6}^{0}}{C_{50}^{5}}= \frac{C_{44}^{5}}{C_{50}^{5}}=$$$$ = \frac{44!}{5!39!}* \frac{5!45!}{50!} = 0.5126$$
Для нахождения вероятности можно было применить следующий метод
введем обозначение: событие \(A\) - из 5-ти наугад взятых изделий нет бракованных.
вероятность того, что было выбрано 5 исправных изделий будем находить по формуле классического определения вероятности \(p=\frac{m}{n}\), где
\(n\) - число всех равновозможных исходов, было выбрано любые 5 изделий. Будем искать по формуле сочетаний \(C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}\), получаем $$n = C_{50}^5 = \frac{50!}{5!45!} $$
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию \(A\), будем искать по формуле сочетаний $$m = C_{44}^5 = \frac{44!}{5!39!}$$
получаем $$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{ \frac{44!}{5!39!} }{ \frac{50!}{5!45!}} =0.5126$$
Ответ: вероятность того, что среди 5 изделий, наугад взятых из комплекса нет бракованных равна \(P_0(5) = 0.5126\)
