Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Дискретное распределение, полигон частот, эмпирическая функция


0 Голосов
Nick_m1
Posted Февраль 25, 2015 by Nick_m1
Категория: Математическая статистика
Всего просмотров: 5177

Для данной выборки стоимости товара в разных магазинах города (грн.):


1) составить дискретное (точечное) статистическое распределение;


2) найти эмпирическую функцию и построить ее график;


3) построить полигон относительных частот;


4) найти среднюю стоимость товара (выборочную среднюю), отклонения от среднего значения стоимости товара (дисперсию и среднее квадратическое отклонение).  


Данные: 11 7 7 15 14 9 19 11 5 6 14 16 8 5 19 17 15 10 10 9 

Теги: дискретный вариационный ря, эмпирическая функция, выборочная средняя, дисперсия

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Февраль 25, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение:


1) составить дискретное (точечное) статистическое распределение;


Проведем группировку по отдельным значениям признака, то есть по стоимости товара (дискретная группировка): 
а) выписываем разные значения вариант, попавших в выборку, упорядочим полученные значения по возрастанию: 


  5 6 7 8 9 10 11 14 15 16 17 19    


Получили дискретный вариационный ряд.


б) рассчитываем частоту каждой варианты из вариационного ряда, заносим данные в таблицу - получили дискретное статистическое распределение.


После группировки по значениям определяем:



  • абсолютные частоты m_i , i=1,..,K , где m_i − количество одинаковых элементов выборки

  • относительные частоты h_i = \frac{m_i}{n}

  • относительные накопленные частоты \sum_{j=1}^i\frac{m_j}{n} = \sum_{j=1}^ih_j, \quad i = 1,2,...K


\begin{array}{|c|c|} x_i & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 14 & 15 & 16 & 17 & 19 & \sum\\ m_i & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2& 1 & 1 & 2 & 20\\ h_i & 0.1 & 0.05 & 0.1 & 0.05 & 0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.05 & 0.05 & 0.1 & 1 \\ s_i=\sum_{j=1}^i\frac{m_j}{n} & 0.1 & 0.15 & 0.25 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & 0.7 & 0.8 & 0.85 & 0.9 & 1\end{array}

 


2) найти эмпирическую функцию и построить ее график;


Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X < x: F(x) = \frac{n_x}{n}

n_x — число вариант, меньших x; n — объем выборки. Эмпирическую функцию распределения F_n(x) получают построением ступенчатой кривой относительных накопленных частот; F_n(x) имеет скачки в точках, соответствующих серединам интервалов u_i .  Найдем эмпирическую функцию 1. Наименьшая варианта равна 5, следовательно F(x)=0 при x \leq 5.
2. При значении  5 \leq x < 6 , F(x)=0+ h_1= 0.1 = s_1
3. При значении  6 \leq x < 7 , F(x)= 0+h_1+h_2= 0+0.1+0.05 = 0.15 =s_2 
4. При значении  7 \leq x < 8 , F(x)= 0+h_1+h_2+h_3= 0+0.1+0.05+0.1 = 0.25 =s_3 и т.д.  F(x) = \begin{cases} 0 & x < 5\\ 0.1 & 5 \leq x < 6 \\ 0.15 & 6 \leq x < 7 \\ 0.25 & 7 \leq x < 8 \\ 0.3 & 8 \leq x < 9 \\ 0.4 & 9 \leq x < 10 \\ 0.5 & 10 \leq x < 11 \\ 0.6 & 11 \leq x < 14 \\ 0.7 & 14 \leq x < 15 \\ 0.8 & 15 \leq x < 16 \\ 0.85 & 16 \leq x < 17 \\ 0.9 & 17 \leq x < 19 \\ 1 & 19 \leq x  \end{cases}


 график эмпирической функции


 3) построить полигон относительных частот;
данные берем из таблицы


 полигон относительных частот


4. найти средний доход предприятия (выборочную среднюю), отклонения от среднего значения прибыли (дисперсию и среднее квадратическое отклонение).


 - Выборочная средняя, если сделана дискретная группировка рассчитывается по формуле \overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^Km_ix_i = \sum_{i=1}^Kh_ix_i


Считаем \overline{x} = 5*0.1+6*0.05+7*0.1+8*0.05+9*0.1+10*0.1+11*0.1+
+14*0.1+15*0.1+16*0.05+17*0.05+19*0.1 = 11.35
 


Можно было рассчитать по формуле \overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i

 \overline{x} = \frac{1}{20}(11+ 7+ 7+ 15+ 14+ 9+ 19+ 11+ 5+ 6+ 14+ 16+
+ 8+ 5+ 19+ 17+ 15+ 10+ 10+ 9) = \frac{227}{20}=11.35


− выборочная (эмпирическая) дисперсия 
\sigma = S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^Km_i(x_i-\overline{x})^2 =

 \sigma= \frac{1}{20-1}[2(5-11.35)^2+1(6-11.35)^2+2(7-11.35)^2+1(8-11.35)^2+
+2(9-11.35)^2+2(10-11.35)^2+2(11-11.35)^2+2(14-11.35)^2+2(15-11.35)^2+
+1(16-11.35)^2+1(17-11.35)^2+2(19-11.35)^2] \approx 20.24
 


 - среднее квадратическое отклонение 
S = \sqrt{\sigma} = \sqrt{20.24}  \approx 4.5