Дискретное распределение, полигон частот, эмпирическая функция

Решение:

1) составить дискретное (точечное) статистическое распределение;

Проведем группировку по отдельным значениям признака, то есть по стоимости товара (дискретная группировка): 
а) выписываем разные значения вариант, попавших в выборку, упорядочим полученные значения по возрастанию: 

  5 6 7 8 9 10 11 14 15 16 17 19    

Получили дискретный вариационный ряд.

б) рассчитываем частоту каждой варианты из вариационного ряда, заносим данные в таблицу - получили дискретное статистическое распределение.

После группировки по значениям определяем:

• абсолютные частоты $m_i$ , i=1,..,K , где $m_i$ − количество одинаковых элементов выборки


• относительные частоты $h_i = \frac{m_i}{n}$


• относительные накопленные частоты $\sum_{j=1}^i\frac{m_j}{n} = \sum_{j=1}^ih_j, \quad i = 1,2,...K$

$$\begin{array}{|c|c|} x_i & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 14 & 15 & 16 & 17 & 19 & \sum\\ m_i & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2& 1 & 1 & 2 & 20\\ h_i & 0.1 & 0.05 & 0.1 & 0.05 & 0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.05 & 0.05 & 0.1 & 1 \\ s_i=\sum_{j=1}^i\frac{m_j}{n} & 0.1 & 0.15 & 0.25 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & 0.7 & 0.8 & 0.85 & 0.9 & 1\end{array}$$  

2) найти эмпирическую функцию и построить ее график;

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию $F(x)$, определяющую для каждого значения $x$ относительную частоту события $X < x$:

$$F(x) = \frac{n_x}{n}$$ $n_x$ — число вариант, меньших $x$; $n$ — объем выборки. Эмпирическую функцию распределения $F_n(x)$ получают построением ступенчатой кривой относительных накопленных частот; $F_n(x)$ имеет скачки в точках, соответствующих серединам интервалов $u_i$ .  Найдем эмпирическую функцию 1. Наименьшая варианта равна 5, следовательно F(x)=0 при $x \leq 5$.
2. При значении $5 \leq x < 6$ , $F(x)=0+ h_1= 0.1 = s_1$
3. При значении $6 \leq x < 7$ , $F(x)= 0+h_1+h_2= 0+0.1+0.05 = 0.15 =s_2$ 
4. При значении $7 \leq x < 8$ , $F(x)= 0+h_1+h_2+h_3= 0+0.1+0.05+0.1 = 0.25 =s_3$ и т.д.  $$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 5\\ 0.1 & 5 \leq x < 6 \\ 0.15 & 6 \leq x < 7 \\ 0.25 & 7 \leq x < 8 \\ 0.3 & 8 \leq x < 9 \\ 0.4 & 9 \leq x < 10 \\ 0.5 & 10 \leq x < 11 \\ 0.6 & 11 \leq x < 14 \\ 0.7 & 14 \leq x < 15 \\ 0.8 & 15 \leq x < 16 \\ 0.85 & 16 \leq x < 17 \\ 0.9 & 17 \leq x < 19 \\ 1 & 19 \leq x  \end{cases}$$

 

 3) построить полигон относительных частот;
данные берем из таблицы

 

4. найти средний доход предприятия (выборочную среднюю), отклонения от среднего значения прибыли (дисперсию и среднее квадратическое отклонение).

 - Выборочная средняя, если сделана дискретная группировка рассчитывается по формуле

$$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^Km_ix_i = \sum_{i=1}^Kh_ix_i$$
Считаем $$\overline{x} = 5*0.1+6*0.05+7*0.1+8*0.05+9*0.1+10*0.1+11*0.1+$$ $$+14*0.1+15*0.1+16*0.05+17*0.05+19*0.1 = 11.35$$  

Можно было рассчитать по формуле

$$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$ $$\overline{x} = \frac{1}{20}(11+ 7+ 7+ 15+ 14+ 9+ 19+ 11+ 5+ 6+ 14+ 16+$$ $$+ 8+ 5+ 19+ 17+ 15+ 10+ 10+ 9) = \frac{227}{20}=11.35$$

− выборочная (эмпирическая) дисперсия 

$$\sigma = S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^Km_i(x_i-\overline{x})^2 =$$ $$\sigma= \frac{1}{20-1}[2(5-11.35)^2+1(6-11.35)^2+2(7-11.35)^2+1(8-11.35)^2+$$ $$+2(9-11.35)^2+2(10-11.35)^2+2(11-11.35)^2+2(14-11.35)^2+2(15-11.35)^2+$$ $$+1(16-11.35)^2+1(17-11.35)^2+2(19-11.35)^2] \approx 20.24$$  

 - среднее квадратическое отклонение 

$$S = \sqrt{\sigma} = \sqrt{20.24}  \approx 4.5$$