Найдем интеграл: \( \int \frac{dx}{x^3+x^2+2x+2}\)
Решение: для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов для этого:
1. разложим знаменательна множители.
Проведем преобразования \(x^3+x^2+2x+2 = x^2(x+1)+2(x+1) = (x+1)(x^2+2)\)
2. Представим правильную рациональную дробь в виде суммы следующих дробей $$ \frac{1}{(x+1)(x^2+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+2} => \quad (1) $$ приводим дроби к общему знаменателю $$\frac{1}{(x+1)^2(x^2+1)} = \frac{A(x^2+2) + Bx(x+1) + C(x+1)}{(x+1)(x^2+2)} $$ сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е $$1 = A(x^2+2) + Bx(x+1) + C(x + 1) $$ Составим систему уравнений коэффициентов при неизвестных \(x\) с равными степенями $$\begin{cases} A+B = 0\\ B +C = 0 \\ 2A + C = 1 \end{cases} => \begin{cases} A = -B\\ C = -B \\ -2B -B = 1 \end{cases} => \begin{cases} A = \frac{1}{3}\\ C = \frac{1}{3} \\ B = -\frac{1}{3} \end{cases} => $$ подставляем в (1) $$ \frac{1}{(x+1)(x^2+2)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{x+1} - \frac{x-1}{x^2+2}) $$ теперь можно найти интеграл
2. Находим интеграл. $$ \int \frac{1}{(x+1)(x^2+2)}dx = \int \frac{1}{3}(\frac{1}{x+1} - \frac{x-1}{x^2+2})dx = $$$$ = \frac{1}{3} \int (\frac{1}{x+1} - \frac{x-1}{x^2+2})dx = $$$$ = \frac{1}{3}[ \int \frac{1}{x+1}dx - \int \frac{x}{x^2+2}dx + \int \frac{1}{x^2+2}dx] = \quad (2)$$
найдем интегралы
\( \int \frac{1}{x+1}dx \)
применим формулу табличного интеграла логарифма \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C\),получаем \( \int \frac{1}{x+1}dx = \ln(x+1) +C \)
\(\int \frac{x}{x^2+2}dx\)
найдем интеграл \( \int \frac{x}{x^2+2}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+2} d(x^2+2) = \frac{1}{2} \ln(x^2+2) + C\)
\(\int \frac{1}{x^2+2}dx\)
применим формулу табличного интеграла арктангенса\( \int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}arctg( \frac{x}{a}) + C\), получаем \( \int \frac{1}{x^2+2}dx = \int \frac{1}{x^2+ (\sqrt{2})^2}dx = \frac{1}{ \sqrt{2}}arctg(\frac{x}{ \sqrt{2}}) + C\)
подставляем результат в (2)
$$ =\frac{1}{3}[ \ln(x+1) - \frac{1}{2} \ln(x^2+2) + \frac{1}{\sqrt{2}}arctg(\frac{x}{\sqrt{2}}) ] + С = $$$$ = \frac{1}{6}[ 2\ln(x+1) - \ln(x^2+2) + \sqrt{2} arctg(\frac{x}{\sqrt{2}}) ] + C$$
Ответ: \( \int \frac{dx}{x^3+x^2+2x+2} = \frac{1}{6}[ 2\ln(x+1) - \ln(x^2+2) + \sqrt{2} arctg(\frac{x}{\sqrt{2}}) ] + C \)
