В левой части уравнения мы видим угол \(\frac{3}{2}\pi\). Применим формулы приведения \(\cos(\frac{3}{2}\pi -x) = -\sin(x)\) и формулу четности функции \(\cos(-x) = \cos(x)\) получим $$\sin(\cos(x-\frac{3}{2}\pi)-\frac{3}{2}\pi) = \cos(2\sin x+1) =>\sin(-\sin(x)-\frac{3}{2}\pi) = \cos(2\sin x+1) =>$$$$-\sin(\sin(x)+\frac{3}{2}\pi) = \cos(2\sin x+1) =>$$применим формулу приведения \(\sin(\frac{3}{2}\pi+x) = -\cos x\), получим $$-(-\cos(\sin(x)) = \cos(2\sin x+1) =>\cos(\sin(x)) = \cos(2\sin x+1) =>$$$$\cos(\sin(x)) - \cos(2\sin x+1) = 0 =>$$получили разность косинусов двух углов $$-2\sin(\frac{\sin x+2\sin x + 1}{2})*\sin(\frac{\sin x - 2\sin x -1}{2}) = 0 =>$$$$-2\sin(\frac{3\sin x + 1}{2})*(-\sin(\frac{\sin x + 1}{2})) = 0 =>$$$$ \sin(\frac{3\sin x + 1}{2})*\sin(\frac{\sin x + 1}{2}) = 0 => $$ получили произведение синусов равное 0, поэтому приравняем каждый синус к 0 и найдем соответствующие значения \(x\) $$ \left[ \begin{gathered} \sin(\frac{3\sin x + 1}{2})= 0\\\sin(\frac{\sin x + 1}{2}) = 0\end{gathered}\right. => \left[ \begin{gathered}\frac{3\sin x + 1}{2} = \pi n, n \in \mathbb Z \\ \frac{\sin x + 1}{2} = \pi n, n \in \mathbb Z \end{gathered}\right. =>$$$$ \left[ \begin{gathered} \sin x = \frac{2\pi n - 1}{3} \\ \sin x =2 \pi n -1 \end{gathered}\right. =>$$как известно область значений синуса \(1 \leq \sin x \leq 0\), учтем это условие для правой части уравнения $$\left[ \begin{gathered} \begin{cases}\sin x = \frac{2\pi n - 1}{3} \\ -1 \leq \frac{2\pi n - 1}{3} \leq 1\end{cases} \\ \begin{cases}\sin x =2 \pi n -1\\ -1 \leq 2 \pi n -1 \leq 1\end{cases} \end{gathered}\right.=>\left[ \begin{gathered} \begin{cases}\sin x = \frac{2\pi n - 1}{3} \\ -1 \leq \pi n \leq 2\end{cases} \\ \begin{cases}\sin x =2 \pi n -1\\ 0 \leq \pi n \leq 1\end{cases} \end{gathered}\right.=>$$$$\left[ \begin{gathered} \begin{cases}\sin x = -\frac{1}{3} \\ n =0 \end{cases} \\ \begin{cases}\sin x = -1\\ n = 0 \end{cases} \end{gathered}\right.=>\left[ \begin{gathered} x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3})+\pi k \\ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \end{gathered}\right. => $$$$ \left[ \begin{gathered} x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3})+\pi k, k \in \mathbb Z \\ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb Z \end{gathered}\right.=>$$По условию задачи необходимо найти корни, принадлежащие промежутку \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\). В этот промежуток попадают от первого уравнение \(-\arcsin\frac{1}{3}\), а от второго уравнения \( -\frac{\pi}{2} \).
Ответ: \(-\arcsin\frac{1}{3}, -\frac{\pi}{2}\)
