Решение:
Найдем вероятность того,что среди наугад выбранных трёх вопросов студент знает:
а) все вопросы
событие \(A\) - студент выбрал 3 вопроса, которые знает .
вероятность того, что студент знает 3 вопроса будем находить по формуле классического определения вероятности \(p=\frac{m}{n}\), где
\(n\) - число всех равновозможных исходов, студент выбрал любую тройку вопросов, будем считать, что билеты будут разными, если они отличаются вопросами, а порядок вопросов в билете не учитывается. Будем искать по формуле сочетаний \(C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}\), получаем $$n = C_{60}^3 = \frac{60!}{3!57!} = 34220$$
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию \(A\), будем искать по формуле сочетаний $$m = C_{50}^3 = \frac{50!}{3!47!} = 19600$$
получаем $$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{19600}{34220} = 0.573$$
Ответ: вероятность того, что среди наугад выбранных трёх вопросов студент знает три равна \(P(A) = 0.573\)
б) два вопроса.
событие \(A\) - студент выбрал 2 вопроса, которые знает .
Для нахождения вероятности применим формулу гипергеометрического распределения:
$$P_m = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} $$ где
\(N\) - общее количество вопросов \(N = 60\),
\(M\) - количество вопросов выученных \(M=50\),
\(N-M\) - количество вопросов не выученных \(M=10\),
\(n\) - количество вопросов в билете \(n = 3\)
\(m\) - количество выученных вопросов в билете \(m = 2\)
\(n-m\) - количество не выученных вопросов в билете \(n-m = 1\)
$$P_m = \frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} = \frac{C_{50}^{2}C_{10}^{1}}{C_{60}^{3}}=$$$$ = \frac{50!}{2!48!}* 10*\frac{3!57!}{60!} = 0.358$$
Ответ: вероятность того, что среди наугад избранных трёх вопросов студент знает два равна \(P = 0.358\)
