Решение: Вычислим интеграл $$ \int \int_{V} \int (4+8x^3) dxdydz $$ где область интегрирования V - тело ограниченное
1. поверхностью \(z=\sqrt{xy}\) - параболоид
2. плоскостью \(y=0\) - плоскость xOz
3. плоскостью \(x=1\) - плоскость параллельная плоскости yOz и проходит через точку (1;0;0)
4. плоскостью \(z=0\) - плоскость xOy
5. плоскостью \(y=x\) - плоскость, проходящаячерез прямую \(y=x\) и ось \(Oz\)
Для нахождения тройного интеграла воспользуемся следующей формулой:
Если область интегрирования \(V\) определяется неравенства \(x_1 \leq x \leq x_2\), \(y_1(x) \leq y(x) \leq y_2(x)\), \(z_1(x,y) \leq z \leq z_2(x,y)\), где \(y_1(x), y_2(x), z_1(x,y), z_2(x,y)\) - непрерывные функции своих аргументов, то тройной интеграл вычисляется по формуле $$\int\int_{V}\int f(x,y,z)dxdydz = \int_{x_1}^{x_2}dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$ область \(V\) ограничена сверху плоскостью \(z = z_2(x,y)\), снизу - поверхностью \(z = z_1(x,y)\), а с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, вырезающей на плоскости Oxy \(S_{xy}\), определенную неравенствами \(x_1 \leq x \leq x_2\), \(y_1(x) \leq y \leq y_2(x)\).
Обращаю внимание, что порядок интегрирования может быть любым.
Алгоритм вычисления тройного интеграла:
1. Расставим пределы интегрирования.
Рассмотрим проекцию тела \(V\) на плоскость xOy. это будет множество гипербол и точка начала координат (0;0).
Пределы интегрирования по оси Ox - начало координат и проекция плоскости \(x=1\) - получили \(0 \leq x \leq 1\)
Пределы интегрирования по оси Oy - от оси Ox до проекции плоскости \(y=x\) - получили \(0 \leq y \leq x\)
Пределы интегрирования по оси Oz - от плоскости xOy до поверхности \(z=\sqrt{xy}\) - - получили \(0 \leq z \leq \sqrt{xy}\)
2. Вычисляем тройной интеграл при известных границах $$ \int \int_{V} \int (4+8x^3) dxdydz= \int_0^1dx\int_0^xdy\int_0^{\sqrt{xy}}(4+8x^3)dz = $$ подынтегральное выражение не зависит от \(y;z\), т.е. является константой для двух внутренних интегралов от \(y;z\), получаем $$ = \int_0^1(4+8x^3)dx\int_0^xdy\int_0^{\sqrt{xy}}dz = \quad (2)$$ интегрируем внутренний интеграл по переменной \(z\), получаем \(\int_0^{\sqrt{xy}}dz = z|_0^{\sqrt{xy}} = \sqrt{xy}\), подставляем в (2) $$ = \int_0^1(4+8x^3)dx\int_0^x\sqrt{xy}dy = $$ переменная интегрирования внутреннего интеграла \(y\), а \(x\) - является постоянной, получаем $$ = \int_0^1(4+8x^3)\sqrt{x}dx\int_0^x\sqrt{y}dy = \quad (3)$$ находим внутренний интеграл \(\int_0^x\sqrt{y}dy = \frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}|_0^x = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\) подставляем в (3) $$= \int_0^1(4+8x^3)\sqrt{x}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}dx = \frac{2}{3} \int_0^1(4+8x^3)x^2dx = $$$$ = \frac{8}{3} \int_0^1(x^2+2x^5)dx = \frac{8}{3}( \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{6}x^6)|_0^1 = $$$$ = = \frac{8}{3}( \frac{1}{3}+\frac{1}{3}) = \frac{16}{9}$$
Ответ: тройной интеграл равен \( \int \int_{V} \int (4+8x^3) dxdydz = \frac{16}{9}\)
