Решение: для нахождения площади фигуры, построим графики функций \(x^2+y=1; x+1=2y\)
Получили фигуру \(ABC\), площадь которой будем находить.
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми \(y_1=g(x)\) и \(y_2=f(x)\), причем функция \(f(x) >g(x)\), то определенный интеграл \(S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx\) равен площади фигуры этой фигуры.
Согласно условия задачи \(y_1 = \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}; y_2 = 1-x^2\), тогда искомая площадь фигуры \(ABC\) равна
$$S_{ABC} = \int_A^D(1-x^2 - (\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}))dx $$ для нахождения интеграла нужно найти координаты точек A и D. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений $$\begin{cases}y=1-x^2\\x+1=2y\end{cases} => \begin{cases}y=1-x^2\\x+1=2-2x^2 \end{cases} => \begin{cases}y_1=0;y_2=\frac{3}{4}\\x_1=-1;x_2 = \frac{1}{2} \end{cases}$$ Подставляем координаты \(x\) точек в интеграл $$S_{ABC} = \int_{-1}^{\frac{1}{2}}(1-x^2 - \frac{1}{2}x-\frac{1}{2})dx =$$ Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем $$ = x-\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x|_{-1}^{ \frac{1}{2}} = $$$$ = \frac{1}{2}-\frac{1}{3}(\frac{1}{2})^3 - \frac{1}{4}(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}\frac{1}{2} - (-1-\frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{4}(-1)^2 - \frac{1}{2}(-1) = \frac{9}{16} $$
Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями \(x^2+y=1; x+1=2y\) равна \(S_{ABC} = \frac{9}{16} \)
