Решение: для того, чтобы перейти к полярной системе координат, определим область интегрирования.
Запишем уравнение функции, которая ограничивает область \(y = \sqrt{3-x^2} => y^2+x^2=3\) - это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом \(R = \sqrt{3}\). Координата \(x\) имеет границы \(-\sqrt{3};\sqrt{3}\) - точки пересечения окружности с осью Ox, в тоже время координата \(y\) имеет границы \(0;\sqrt{3-x^2}\), т.е. только положительная, область интегрирования представляет собой полукруг в I и II четвертях.
Переходим к полярной системе координат:
уравнение окружности в полярной системе координат будет иметь вид: \(x = \rho\cos(\phi); y=\rho\sin(\phi)\) подставляем в уравнение окружности $$x^2+y^2=3 => ( \rho\cos(\phi))^2+(\rho\sin(\phi))^2 = 3 => \rho^2=3 => \rho=\sqrt{3}$$ получили, что полярный радиус изменяется в границах \(\rho \in [0;\sqrt{3}]\), а угол \( \phi \in [0;\pi]\). Подставим \(x;y\) в подынтегральную функцию $$ \sqrt{1+x^2+y^2} = \sqrt{1+( \rho\cos(\phi))^2+( \rho\sin(\phi))^2} = \sqrt{1+\rho^2}$$
Применим формулу перехода из декартовых координат в полярные \(\int_D\int f(x;y)dxdy = \int_G\int f(\rho\cos(\phi);\rho\sin(\phi))\rho d\rho d\phi\)
Подставляем полученные результаты в интеграл с учетом формулы перехода: $$ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} dx\int_{0}^{\sqrt{3-x^2}} \sqrt{1+x^2+y^2}dy = \int_{0}^{\pi} d\phi \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{1+\rho^2}\rho d\rho = $$$$ = \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{1+\rho^2} \frac{1}{2}d(1+\rho^2) = \frac{1}{2}\pi \frac{1}{\frac{1}{2}+1}(1+\rho^2)^{\frac{3}{2}} |_{0}^{\sqrt{3}} = $$$$ = \frac{1}{3}\pi [(1+(\sqrt{3})^2)^{\frac{3}{2}} - (1+0)^{\frac{3}{2}}] = \frac{1}{3}\pi [(4)^{\frac{3}{2}} - 1] = \frac{7}{3}\pi$$
Ответ: \( \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} dx\int_{0}^{\sqrt{3-x^2}} \sqrt{1+x^2+y^2}dy = \frac{7}{3}\pi \)
