Решение:
Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными кривыми применим определенный интеграл и его геометрический смысл..
Определенный интеграл и его геометрический смысл.
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если функция f(x) \geq 0 на отрезке [a;b], a < b, то определенный интеграл \int_a^bf(x)dx \quad равен площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной линиями:
сверху y = f(x)
справа, слева x=a; x=b
снизу y=0
Согласно условия задачи, фигура ограниченная линиями y=3-x^2-2x,y=0. Для применения определенного интеграла необходимо найти еще левую и правую точки пересечения кривой (параболы) с осью Ox, точками пересечения с осью являются корни уравнения 3-x^2-2x = 0 => x_1=-3;x_2=1. Теперь для нахождения площади фигуры применим определенный интеграл, применим формулу (1), получим S = \int_{-3}^1(3-x^2-2x)dx = Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a), получаем = 3x - \frac{1}{3}x^3 - x^2 |_{-3}^1 = = 3 - \frac{1}{3} - 1 - 3(-3) - \frac{1}{3}(-3)^3 - (-3)^2 = 10\frac{2}{3}
Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна S = 10\frac{2}{3}
