Найти интеграл: \( \int_{1}^{2}x\log_2(x)dx \)
Решение:
1. Найдем неопределенный интеграл \(\int x\log_{2}xdx\)
применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\).
Введем обозначения \(dv = xdx => v = \frac{1}{2}x^2 \), \(u = \log_2(x) => du = \frac{1}{x\ln(2)}dx\), подставляем $$ \int_{1}^{2}x\log_2(x)dx = \frac{1}{2}x^2\log_2(x) - \int \frac{1}{2}x^2\frac{1}{x\ln(2)}dx = $$$$ = \frac{1}{2}x^2 \frac{ \ln(x)}{ \ln(2)} - \frac{1}{2\ln(2)} \int xdx = \frac{1}{2}x^2 \frac{ \ln(x)}{ \ln(2)} - \frac{1}{2\ln(2)}\frac{1}{2}x^2 = $$$$ = \frac{2\ln(x) - 1}{4\ln(2)}x^2 $$
2. Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\)
$$ \int_{1}^{2}x\log_2(x)dx = \frac{2\ln(x) - 1}{4\ln(2)}x^2|_{1}^{2} = $$$$ = \frac{2\ln(2) - 1}{4\ln(2)}2^2 - \frac{2\ln(1) - 1}{4\ln(2)}1^2 = \frac{8\ln(2) - 4 - 2\ln(1) + 1}{4\ln(2)} =$$$$ = \frac{8\ln(2) - 3}{4\ln(2)}$$
Ответ: \( \int_{1}^{2}x\log_2(x)dx = \frac{8\ln(2) - 3}{4\ln(2)}\)
