Решение: найдем неопределенный интеграл \( \int\frac{x}{\sqrt{1-2x}}dx\)
применим метод замены независимой переменной. Введем замену, чтобы избавиться от иррациональности \(1-2x = t^2 => dx = -tdt; \quad t = \sqrt{1-2x}; \quad x = \frac{1-t^2}{2}\). Подставляем замену $$\int\frac{x}{\sqrt{1-2x}}dx = \int\frac{\frac{1-t^2}{2}}{\sqrt{t^2}}(-tdt) = $$$$ = \int \frac{t^2-1}{2}dt = \frac{1}{2}(\frac{t^3}{3}-t)+C = \frac{1}{2}t(\frac{t^2}{3}-1)+C$$ применим обратную замену \(t = \sqrt{1-2x}\), получаем $$ \frac{1}{2} \sqrt{1-2x}(\frac{( \sqrt{1-2x})^2}{3}-1)+C = \frac{1}{2} \sqrt{1-2x}\frac{1-2x-3}{3}+C =$$$$ = - \frac{1}{3} \sqrt{1-2x}(x+1)+C $$
Ответ: \( \int\frac{x}{\sqrt{1-2x}}dx = -\frac{1}{3} \sqrt{1-2x}(x+1)+C \)
