Задані функція $z=z(x,y)$, точка $А(x_{0};y_{0})$ та вектор $\overrightarrow{a}$. Знайти а) Seekland INFO Сообщество взаимопомощи студентов и школьников / Спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

0 Голосов

Posted Февраль 12, 2015 by Балковая Елена Антоновна

Всего просмотров: 1865

Задані функція $z=z(x,y)$, точка $А(x_{0};y_{0})$ та вектор $\overrightarrow{a}$.
Знайти
а) grad z в точці А;
б) похідну в точці А за напрямком вектора $\overrightarrow{a}$. $$z=\arctan(xy^{2}) \quad A(2;3) \quad \overrightarrow{a}=4i-3j$$

Теги: производная функции в точке, производная по направлению, градиент

Лучший ответ

0 Голосов

Posted Февраль 12, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение:
а) grad z в точке А(2;3)
градиентом функции $z = f(x;y)$ в точке $A$ рассчитывается о формуле $ \text{grad z} = \frac{\partial z}{\partial x}|_{A}i + \frac{\partial z}{\partial y}|_{A}j$

Найдем частные производные функции $z = arctg(xy^2)$ в точке $A$ :
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}(arctg(xy^2)) = \frac{y^2}{1+x^2y^4}$ найдем значение частной производной в точке $ \frac{\partial z}{\partial x}|_{A(2;3)} = \frac{3^2}{1+2^2*3^4} = \frac{9}{325}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}(arctg(xy^2)) = \frac{2xy}{1+x^2y^4}$ найдем значение частной производной в точке $ \frac{\partial z}{\partial x}|_{A(2;3)} = \frac{2*2*3}{1+2^2*3^4} = \frac{12}{325} $
Ответ: градиент функции в заданной точке равен $ \text{grad z} = \frac{9}{325}i + \frac{12}{325}j$

б) производная в точке А по направлению вектора $\vec{a}$.
алгоритм нахождения производной функции $z= arctg(xy^{2})$ в точке A(2;3) по направлению вектора $\vec{a}=4i-3j$
1. найдем направляющие косинусы вектора $vec{a}$ с координатами$\vec{a} = {4;-3}$
$\cos(\alpha) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{4}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{4}{5}$
$\cos(\beta) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{-3}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = -\frac{3}{5}$
2. найдем частные производные функции $z = f(x;y)$ и найдем их значение в заданной точке. Данный пункт был решен выше, поэтому запишем ответ
$ \frac{\partial z}{\partial x}|_{A(2;3)} = \frac{9}{325}$
$ \frac{\partial z}{\partial x}|_{A(2;3)} = \frac{12}{325}$
3. подставляем в формулу производной $ \frac{\partial z}{\partial l} = \frac{\partial z}{\partial x}\cos(\alpha) + \frac{\partial z}{\partial y}\cos(\beta) $ и находим значение в заданной точке $$\frac{\partial z}{\partial l}|_{A(2;3)} = \frac{9}{325}\frac{4}{5} - \frac{12}{325}\frac{3}{5} = 0$$
Ответ: производная от функции $z= arctg(xy^{2})$ в точке A(2;3) по направлению вектора $\vec{a}=4i-3j$ равна $0$, это значит, что производная функции по направлению вектора $\vec{a}$, перпендикулярна вектору $ \text{grad z}$

Задані функція \(z=z(x,y)\), точка \(А(x_{0};y_{0})\) та вектор \(\overrightarrow{a}\). Знайти а)

Лучший ответ