Решение: найдем частные производные функции двух переменных \(z= arctg^3(\sqrt{x^3y}) \)
1. частная производная функции по \(x\), \(z'_x\). Считаем \(y\) постоянной и дифференцируем функцию \(z(x;y)\) как функцию от одной переменной \(x\), т.е. находим производную \(z'(x)\)
$$z'_x = \frac{\partial }{\partial x}(arctg^3(\sqrt{x^3y})) = $$ применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\) $$ = 3arctg^2(\sqrt{x^3y})\frac{\partial }{\partial x}(arctg(\sqrt{x^3y}))= $$ повторно применяем формулу производной сложной функции $$= 3arctg^2(\sqrt{x^3y})\frac{1}{1+(\sqrt{x^3y})^2}\frac{\partial }{\partial x}(\sqrt{x^3y})= $$ третий раз применяем формулу производной сложной функции $$ =3arctg^2(\sqrt{x^3y})\frac{1}{1+x^3y}\frac{1}{2\sqrt{x^3y}}\frac{\partial }{\partial x}(x^3y)=$$
применяем формулу производной степенной функции \((x^a)' = ax^{a-1}\) $$= 3arctg^2( \sqrt{x^3y})\frac{1}{1+x^3y}\frac{1}{2 \sqrt{x^3y}}3x^2y = $$$$=\frac{9}{2}\frac{x^2y*arctg^2(\sqrt{x^3y})}{(1+x^3y)\sqrt{x^3y}} = \frac{9}{2}\frac{\sqrt{xy}*arctg^2(\sqrt{x^3y})}{(1+x^3y)}$$
Ответ: частная производная \(z'_x= \frac{\partial }{\partial x}(arctg^3(\sqrt{x^3y})) = \frac{9}{2}\frac{\sqrt{xy}*arctg^2(\sqrt{x^3y})}{(1+x^3y)}\)
2. частная производная функции по \(y\), \(z'_y\). Считаем \(x\) постоянной и дифференцируем функцию \(z(x;y)\) как функцию от одной переменной \(y\), т.е. находим производную \(z'(y)\)
$$ z'_y = \frac{\partial }{\partial y}(arctg^3(\sqrt{x^3y})) = $$ применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\) $$ = 3arctg^2(\sqrt{x^3y})\frac{\partial }{\partial x}(arctg(\sqrt{x^3y}))= $$ повторно применяем формулу производной сложной функции $$= 3arctg^2(\sqrt{x^3y})\frac{1}{1+(\sqrt{x^3y})^2}\frac{\partial }{\partial x}(\sqrt{x^3y})= $$ третий раз применяем формулу производной сложной функции $$ =3arctg^2(\sqrt{x^3y})\frac{1}{1+x^3y}\frac{1}{2\sqrt{x^3y}}\frac{\partial }{\partial x}(x^3y)=$$ применяем формулу производной степенной функции \((x^a)' = ax^{a-1}\) $$= 3arctg^2( \sqrt{x^3y})\frac{1}{1+x^3y}\frac{1}{2 \sqrt{x^3y}}x^3 = $$$$=\frac{3}{2}\frac{x^3*arctg^2(\sqrt{x^3y})}{(1+x^3y)\sqrt{x^3y}} = \frac{3}{2}\frac{\sqrt{x^3y}*arctg^2(\sqrt{x^3y})}{(1+x^3y)y}$$
Ответ: частная производная \(z'_y= \frac{\partial }{\partial y}(arctg^3(\sqrt{x^3y})) = \frac{3}{2}\frac{\sqrt{x^3y}*arctg^2(\sqrt{x^3y})}{(1+x^3y)y}\)
