Вероятность того, что изделие при транспортировке повредится, равна 0,003. Найти вероятность того,

Решение: введем обозначение: пусть случайное событие \(A\) - изделие повреждено, тогда вероятность появления этого события \(p(A) = 0.003\), а общее количество испытаний равно \(n=10000\).
Т.е. согласно условия задачи проводится \(n\) независимых испытаний (количество транспортируемых идентичных изделий), в каждом из которых может появиться событие \(A\) с вероятностью \(p(A) = 0.003\). Вероятность того, что при \(n = 10000\) независимых испытаниях событие \(A\) появится \(k = 2\) раз определяется формулой Бернулли.
При \(\lambda = n*p < 10 \) нужно использовать формулу Пуассона, но в данном случае \(\lambda = n*p =10000*0.003 = 30 > 10\) будем использовать формулу Бернулли $$P_{n}(k) = C_n^kp^kq^{n-k}$$ подставляем данные задачи $$P_{10000}(2) = C_{10000}^2*0.003^2(1-0.003)^{9998} = $$$$ =\frac{10000!}{2!9998!}*0.003^2(1-0.003)^{9998} = 4.05*10^{-11}$$
Ответ: вероятность того, что при транспортировки 10000 изделий будет повреждено 2 изделия равна \(P_{10000}(2) = 4.05*10^{-11}\)

Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.

Вероятность того, что в \(n\) независимых испытаниях с вероятностью появления события \(A\) равной \(0 < P < 1\) событие  наступит ровно раз \(k\) (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле $$P_n(k) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$$ где \(\phi(x)\) - функция Гаусса

\(x = \frac{x - np}{ \sqrt{npq}}\) - аргумент функции Гаусса

Теорему Лапласа рекомендуется применять при  значениях произведения \(npq > 10; \), в противном случае погрешность вычисления будет высокая. Проверяем \( 10000*0.003*0.997 \approx 29.92 > 10 \),
также учтем, что функция Гаусса - четная функция \(\phi(-x) = \phi(x)\)

Найдем аргумент функции Гаусса \(x = \frac{k - np}{ \sqrt{npq}} = \frac{2-10000*0.003}{\sqrt{10000*0.003*0.997}} = -5.11976\)

$$ \phi( -5.11976)  = \phi(5.11976) = 1.64895*10^{-12}$$ нашли по таблице Гаусса

Вероятность равна $$P_{10000}(2) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x) = $$$$  \frac{1}{\sqrt{ 10000*0.003*0.997}}*1.64895*10^{-12} \approx 3.01508 × 10^{-13}$$

формула Лапласа - формула приближенного вычисления , а результат формулы Бернулли зависит от алгоритма в ПК, поэтому есть различия в ответе.