Вероятность того, что изделие при транспортировке повредится, равна 0,003. Найти вероятность того,

Решение: введем обозначение: пусть случайное событие $A$ - изделие повреждено, тогда вероятность появления этого события $p(A) = 0.003$, а общее количество испытаний равно $n=10000$.
Т.е. согласно условия задачи проводится $n$ независимых испытаний (количество транспортируемых идентичных изделий), в каждом из которых может появиться событие $A$ с вероятностью $p(A) = 0.003$. Вероятность того, что при $n = 10000$ независимых испытаниях событие $A$ появится $k = 2$ раз определяется формулой Бернулли.
При $\lambda = n*p < 10$ нужно использовать формулу Пуассона, но в данном случае $\lambda = n*p =10000*0.003 = 30 > 10$ будем использовать формулу Бернулли

$$P_{n}(k) = C_n^kp^kq^{n-k}$$ подставляем данные задачи $$P_{10000}(2) = C_{10000}^2*0.003^2(1-0.003)^{9998} =$$ $$=\frac{10000!}{2!9998!}*0.003^2(1-0.003)^{9998} = 4.05*10^{-11}$$
Ответ: вероятность того, что при транспортировки 10000 изделий будет повреждено 2 изделия равна $P_{10000}(2) = 4.05*10^{-11}$

 

Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.

Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях с вероятностью появления события $A$ равной $0 < P < 1$ событие  наступит ровно раз $k$ (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле

$$P_n(k) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$$ где $\phi(x)$ - функция Гаусса

$x = \frac{x - np}{ \sqrt{npq}}$ - аргумент функции Гаусса

Теорему Лапласа рекомендуется применять при  значениях произведения $npq > 10;$, в противном случае погрешность вычисления будет высокая. Проверяем $10000*0.003*0.997 \approx 29.92 > 10$,
также учтем, что функция Гаусса - четная функция $\phi(-x) = \phi(x)$

Найдем аргумент функции Гаусса $x = \frac{k - np}{ \sqrt{npq}} = \frac{2-10000*0.003}{\sqrt{10000*0.003*0.997}} = -5.11976$

$$\phi( -5.11976)  = \phi(5.11976) = 1.64895*10^{-12}$$ нашли по таблице Гаусса

Вероятность равна

$$P_{10000}(2) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x) =$$ $$\frac{1}{\sqrt{ 10000*0.003*0.997}}*1.64895*10^{-12} \approx 3.01508 × 10^{-13}$$

формула Лапласа - формула приближенного вычисления , а результат формулы Бернулли зависит от алгоритма в ПК, поэтому есть различия в ответе.