Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях с вероятностью появления события A равной 0 < P < 1 событие наступит ровно раз k (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле P_n(k) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)
где
\phi(x) -
функция Гаусса
x = \frac{x - np}{ \sqrt{npq}} - аргумент функции Гаусса
Теорему Лапласа рекомендуется применять при значениях произведения npq > 10; , в противном случае погрешность вычисления будет высокая. Проверяем 10000*0.003*0.997 \approx 29.92 > 10 ,
также учтем, что функция Гаусса - четная функция \phi(-x) = \phi(x)
Найдем аргумент функции Гаусса x = \frac{k - np}{ \sqrt{npq}} = \frac{2-10000*0.003}{\sqrt{10000*0.003*0.997}} = -5.11976
\phi( -5.11976) = \phi(5.11976) = 1.64895*10^{-12}
нашли по
таблице Гаусса
Вероятность равна P_{10000}(2) = \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x) =
\frac{1}{\sqrt{ 10000*0.003*0.997}}*1.64895*10^{-12} \approx 3.01508 × 10^{-13}
формула Лапласа - формула приближенного вычисления , а результат формулы Бернулли зависит от алгоритма в ПК, поэтому есть различия в ответе.