Знайти найбільше і найменше значення функції \(y =x+ \frac{4}{x}\) на відрізку [1; 5]

Рассмотрим алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции  на отрезке  :

1. Находим производную функци \(f'(x)\).
2. Находим точки, в которых \(f'(x)=0\) или \(f'(x)\) не существует, выбераем те из них, которые попадают на отрезок;
3. Вычисляет значения функции \(y = f(x)\) в полученных точках и на концах отрезка.
4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее; это и будут наибольшим и наименьшим значениями функции \(y = f(x)\) на отрезке \([a; b]\)

Приступаем к решению

$$1. \quad y' = (x + \frac{4}{x})' = 1 - \frac{4}{x^2} \\ 2. \quad 1 - \frac{4}{x^2}=0 => \left\{
  \begin{array}{l l}
    1 = \frac{4}{x^2}\\
    x \ne 0\\
  \end{array} \right. => \left\{
  \begin{array}{l l}
   x_{1,2} = \pm 2\\
    x \ne 0\\
  \end{array} \right.$$ В отрезок попадает только одно точка при x=2.

3. Назйдем значение функции \(y=f(x)\) в точке x=2 и на концах отрезка, x=1, x=5.
$$f(1) = 1 + \frac{4}{1} = 1 + 4 = 5 \\
f(2) =  1 + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3 \\
f(5) =  1 + \frac{4}{5} = 1\frac{4}{5} \\$$Наибольшее значение \(y_{наиб}=5\), наименьшее значение \(y_{наим} = \frac{4}{5}\)