Знайти найбільше і найменше значення функції $y =x+ \frac{4}{x}$ на відрізку [1; 5]

Рассмотрим алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции  на отрезке  :

1. Находим производную функци $f'(x)$.
2. Находим точки, в которых $f'(x)=0$ или $f'(x)$ не существует, выбераем те из них, которые попадают на отрезок;
3. Вычисляет значения функции $y = f(x)$ в полученных точках и на концах отрезка.
4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее; это и будут наибольшим и наименьшим значениями функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$

Приступаем к решению

$$1. \quad y' = (x + \frac{4}{x})' = 1 - \frac{4}{x^2} \\ 2. \quad 1 - \frac{4}{x^2}=0 => \left\{   \begin{array}{l l}     1 = \frac{4}{x^2}\\     x \ne 0\\   \end{array} \right. => \left\{   \begin{array}{l l}    x_{1,2} = \pm 2\\     x \ne 0\\   \end{array} \right.$$ В отрезок попадает только одно точка при x=2.

3. Назйдем значение функции $y=f(x)$ в точке x=2 и на концах отрезка, x=1, x=5.

$$f(1) = 1 + \frac{4}{1} = 1 + 4 = 5 \\ f(2) =  1 + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3 \\ f(5) =  1 + \frac{4}{5} = 1\frac{4}{5} \\$$ Наибольшее значение $y_{наиб}=5$, наименьшее значение $y_{наим} = \frac{4}{5}$