Решение:
1. найти длину высоты AD
высота AD равна расстоянию от точки A до прямой BC, поэтому найдем уравнение прямой, а затем применим формулу расстояния от точки до прямой.
Уравнение прямой BC будем искать по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) $$ Подставляем координаты вершин В (-5;4),С (9;-1): уравнение прямой BC $$ \frac{x+5}{9+5} = \frac{y-4}{-1-4} => y = \frac{31}{14} - \frac{5}{14}x$$
Расстояние от точки A до прямой BC - длина высоты AD будем находить по формуле $$d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \quad (2)$$ где уравнение \(Ax+By+C=0\) - уравнение прямой в общем виде, а \(x_0;y_0\) - координаты точки, расстояние от которой до прямой равно \(d\), в нашем случае это А(0,6)
Получим уравнение прямой BC в общем виде \(y = \frac{31}{14} - \frac{5}{14}x => 5x + 14y - 31 =0\). Подставляем уравнение прямой и координаты точки в формулу (2) $$d_{AD} = \frac{|5*0 + 14*6 - 31|}{\sqrt{5^2+14^2}} \approx 3.57$$
Ответ: длина высоты AD равна \(d = 3.57\)
2. найти уравнение медианы BE
Для нахождения медианы BE есть координата одной точки B(-5;4), а координаты второй точки прямой E найдем как координаты середины отрезка \(AC\), где А(0,6), С (9;-1) по формуле \( E(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2})\) => \( E(\frac{0+9}{2};\frac{6-1}{2}) \) => \( E(\frac{9}{2}; \frac{5}{2}) \)
Находим уравнение прямой \(BE\) по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки B(-5;4) и \(E(\frac{9}{2}; \frac{5}{2})\) уравнение (1) $$ \frac{x+5}{\frac{9}{2}+5}=\frac{y-4}{\frac{5}{2}-4} => y = \frac{61}{19} - \frac{3}{19}x$$
Ответ: уравнение медианы BE \( y = \frac{61}{19} - \frac{3}{19}x \)
