Исследуем функцию \( y = \frac{1}{2}(x^4-6x^2+5) \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на области определения точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{1}{2}((-x)^4-6(-x)^2+5) = \frac{1}{2}(x^4-6x^2+5)\) функция является четной, т.е. она симметрична относительно оси Oy, поэтому далее будем исследовать функцию на интервале \( [0; +\infty) \), график функции на интервале \((-\infty;0)\) получим путем симметричного переноса графика, полученного на интервале \([0; +\infty) \) относительно оси Oy.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \(\frac{1}{2}(x^4-6x^2+5) = 0 =>\) Найдем корни среди целых делителей свободного члена 5. Получили два целых корня \(x_1=-1; \quad x_2=1\). Разделим заданную функцию на многочлен \((x-1)(x+1) = x^2-1\), получим \(\frac{x^4-6x^2+5}{x^2-1} = x^2-5\), получили еще два корня \(x_3=-\sqrt{5}; \quad x_4 = \sqrt{5}\). Кривая имеет четыре точки пересечения с осью Ox с координатами \((-1 ;0),(1 ;0),(-\sqrt{5} ;0),(\sqrt{5} ;0)\).
Интервалы знакопостоянства функции. На рассматриваемом интервале \([0;+\infty)\) кривая имеет две точку пересечения с осью Ox это \(x = 1 \quad x = \sqrt{5}\) , т.е. три интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((0; 1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0.5) = \frac{1}{2}(x^4-6x^2+5) > 0 \) на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
интервал \((1; \sqrt{5})\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{1}{2}(x^4-6x^2+5) < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox.
интервал \(( \sqrt{5}; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(3) = \frac{1}{2}(x^4-6x^2+5) > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно найти значение функции при \(x = 0\), получаем \(f(0) = \frac{1}{2}(x^4-6x^2+5) = \frac{5}{2}\). Координаты точки пересечения с осью Oy \(( 0; 2.5)\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{1}{2}(x^4-6x^2+5))'= \frac{1}{2}(4x^3-12x) = 2x^3-6x$$ приравняем к 0 $$ 2x^3-6x = 0 => 2x(x^2-3) = 0 => x_1 = 0; \quad x_2=\sqrt{3}; \quad x_3=-\sqrt{3} $$ Получили три критические точку. Две точки попадают в рассматриваемый интервал \(x_1=0;x_2=\sqrt{3}\). Эти точки делят интервал на два интервала монотонности.
Определим монотонность функции на этих интервалах.
интервал \((0; \sqrt{3})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(1) = 2x(x^2-3) < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((\sqrt{3}; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(2) = 2x(x^2-3) > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили две критические (стационарные) точки (на исследуемом интервале) \(x_1=0; \quad x_2=\sqrt{3}\) , определим, является ли они экстремумами. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критические точки
точка \(x=0\) производная меняет знак с \( + \quad 0 \quad -\) - точка максимума.
точка \(x=\sqrt{3}\) производная меняет знак с \( - \quad 0 \quad +\) - точка минимума.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (2x^3-6x)'= 6x^2-6 $$ Нужно приравнять к нулю вторую производную $$6x^2-6 = 0 => x_1=1; \quad x_2=-1$$ На рассматриваемом интервале \([0; +\infty)\) функция имеет точку возможного перегиба. Рассмотрим выпуклость функции в пределах рассматриваемого интервала:
интервал \(( 0;1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0.5) = x^2-1 < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((1; \infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = x^2-1 > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
На рассматриваемом интервале функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю - точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку
точка \(x = 1\): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
Координаты точек перегиба \((1; 0)\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции не имеет вертикальной асимптоты (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{1}{2}(x^4-6x^2+5) \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2}(x^4-6x^2+5)}{x} = \infty => k= \infty$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к. \(k = \infty\) наклонной асимптоты нет
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{2}(x^4-6x^2+5) = \infty $$график функции стремится к \( \infty\). Горизонтальной асимптоты нет.
9. График функции.
