Решение: в группе 15 студентов, наугад мы выбираем 9 студентов, т.е. нужно найти число всех равновозможных случаем распределения 25 студентов по 9. Это число равно числу сочетаний \(C_{25}^{9} = \frac{25!}{9!(25-9)!} = \frac{25!}{9!(16)!} = \frac{17*18*19*20*21*22*23*24*25}{1*2*3*4*5*6*7*8*9} = \) \( 17*19*11*23*25 =2042975\).
Согласно условия, среди выбранных 9 человек оказалось 5 спортсменов (из 8 в группе), число равновозможных случаев распределения 5 спортсменов из 8 спортсменов в группе равно \(C_{8}^{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{6*7*8}{1*2*3} = 7*8=56\)
Согласно условия, среди выбранных 9 человек оказалось 4 не спортсмена (из 15 - 8 спортсменов = 7 не спортсменов в группе), число равновозможных случаев распределения 4 не спортсменов из 7 не спортсменов в группе равно \(C_{7}^{4} = \frac{7!}{4!(7-3)!} = \frac{7!}{4!4!} = \frac{5*6*7}{1*2*3*4} = \frac{35}{4}\)
Число групп студентов, в которые входят 5 спортсменов и 4 не спортсмена равно произведению всех возможных комбинаций \(C_{8}^{5}*C_{7}^{4}\)
Вероятность будем искать по формуле классического определения вероятности \(P=\frac{m}{n}\), где
\(m\) - число элементарных исходов, благоприятствующих событию \(A\), в нашем случае - число групп студентов \(m = C_{8}^{5}*C_{7}^{4}\)
\(n\) - число всех равновозможных элементарных исходов, в нашем случае - число групп студентов \(n = C_{25}^{9}\)
Искомая вероятность равна $$P = \frac{C_{8}^{5}*C_{7}^{4}}{C_{25}^{9}} = \frac{56\frac{35}{4}}{ 2042975} = 0.00024$$
Ответ: вероятность того, что среди 9 наудачу выбранных студентов окажется 5 спортсменов из группы в 25 студентов равна \(P = 0.00024\)
