Решение: введем обозначения:
событие \(A\) - случайно выбранный покупатель столкнулся с невежливым обращением..
событие \(H_1\) - продавец невежлив в хлебном отделе, тогда \(P(H_1) = \frac{4}{4+3+3} = \frac{4}{10}\), также известно, что продавец был невежлив с каждым 5 покупателем, т.е. \(P(A/H_1) = \frac{1}{5}\)
событие \(H_2\) - продавец невежлив в вино водочном отделе, тогда \(P(H_2) = \frac{3}{10}\), \(P(A/H_2) = \frac{1}{2}\)
событие \(H_3\) - продавец невежлив в бакалейном отделе тогда \(P(H_3) = \frac{3}{10}\), \(P(A/H_3) = \frac{1}{7}\)
Найдем вероятность невежливого обращения \(P(A)\),
применим формулу полной вероятности:
Рассмотрим \(n\) попарно несовместных событий \(H_1,H_2,...,H_n\) для которых известны вероятности \(P(H_i) \ne 0\) и событие \(A \in H_1+H_2+...+H_n\), причем известны условные вероятности \(P(A/H_i)\), тогда вероятность события \(A\), находится по формуле \(P(A) = \sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)\). Эта формула называется формулой полной вероятности, а события \(H_1,H_2,...H_n\) - гипотезы.
Подставляем данные в формулу полной вероятности, получаем $$P(A) = P(H_1)P(A/H_1) + P(H_2)P(A/H_2) + P(H_3)P(A/H_3) = $$$$ = \frac{4}{10}\frac{1}{5}+\frac{3}{10}\frac{1}{2}+ \frac{3}{10} \frac{1}{7} = 0.27$$
Ответ: вероятность невежливого обращения \(P(A) = 0.27\)
С какой вероятностью покупатель посетил перед этим хлебный отдел? (продавец хлебного отдела был невежлив)
Применим формулу Бейеса
Пусть \(H_1,H_2,...,H_n\) - попарно-несовместные события, вероятности которых \(P(H_i) \ne 0\), и событие \(A \subset H_1+H_2+...+H_n\), для которого известны условные вероятности \(P(A/H_i)\). Произведен опыт, в результате которого появилось событие \(A\). Условные вероятности событий \(H_1,H_2,...,H_n\) относительно события \(A\) определяется формулами $$P(H_k/A) = \frac{P(H_k)P(A/H_k)}{\sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)} = \frac{P(H_k)P(A/H_k)}{P(A)} $$
Подставляем данные в формулу $$P(H_1/A) = \frac{P(H_1)P(A/H_1)}{\sum_{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)} = $$$$ = \frac{\frac{4}{10}\frac{1}{5}}{\frac{4}{10}\frac{1}{5}+\frac{3}{10}\frac{1}{2}+ \frac{3}{10} \frac{1}{7}} = 0.29$$
Ответ: покупатель посетил хлебный отдел с вероятностью \(P(H_1/A) = 0.29\)
