Задание: Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Две пули поразили мишень. Найти вероятность того,что третий стрелок поразил мишень,если вероятность попадания в мишень первым,вторым и третьим стрелком соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6.
Решение: введем следующие обозначения:
событие \(A_1\) - попадание в мишень первым стрелком, а событие \(\overline{A_1}\) - промах, тогда \(P(A_1) = 0.8\), а \(P(\overline{A_1}) = 0.2\)
событие \(A_2\) - попадание в мишень вторым стрелком, а событие \(\overline{A_2}\) - промах, тогда \(P(A_2) = 0.7\), а \(P(\overline{A_2}) = 0.3\)
событие \(A_3\) - попадание в мишень вторым стрелком, а событие \(\overline{A_3}\) - промах, тогда \(P(A_3) = 0.6\), а \(P(\overline{A_3}) = 0.4\)
событие \(A\) - попадание в мишень два раза из трех, при этом известно, что третий стрелок попал в мишень, тогда $$A = A_1\overline{A_2}A_3+\overline{A_1}A_2A_3$$ Поскольку слагаемые в правой части равенства несовместны, то применим
теорему сложения \(n\) несовместных событий:
Вероятность суммы \(n\) несовместных событий \(A_1,A_2,...,A_n\) равна сумме вероятностей этих событий : \(P(A_1+A_2+...+A_n) = P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)\),
получаем $$P(A) = P(A_1 \overline{A_2}A_3+ \overline{A_1}A_2A_3)= P(A_1 \overline{A_2}A_3)+P( \overline{A_1}A_2A_3) = $$
Применим теорему умножения вероятностей \(n\) независимых событий
Если события \(A_1,A_2,...,A_n\) - независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей \(P(A_1A_2*...*A_n) = P(A_1)P(A_2)*...*P(A_n)\)
получаем $$ =P(A_1)P(\overline{A_2})P(A_3)+P(\overline{A_1})P(A_2)P(A_3) =$$ подставляем значения вероятностей $$ = 0.8*0.3*0.6+0.2*0.7*0.6 = 0.228$$
Ответ: вероятность того, что третий стрелок поразил мишень при том, что мишень была поражена два раза равна \(P(A) = 0.228\)
