5) Уравнение плоскости, проходящей через точку O, перпендикулярно прямой AC.
Найдем уравнение прямой AC, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} . Подставим координаты точек A(2;0;4), C (4;-16;16), получаем \frac{x-2}{4-2} = \frac{y-0}{-16-0} = \frac{z-4}{16-4} => \frac{x-2}{2} = \frac{y}{-16} = \frac{z-4}{12} =>
\frac{x-2}{1} = \frac{y}{-8} = \frac{z-4}{6}
Применим каноническое уравнение прямой
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{p} \quad (1) , где
координаты
(x_0;y_0;z_0) - координаты точки, принадлежащей прямой,
вектор
\vec{s} = (m;n;p) - координаты направляющего вектора (вектор параллелен прямой).
Из полученного уравнения прямой получим координаты направляющего вектора
\vec{s} = (1;-8;6)Полученный направляющий вектор
\vec{s} , согласно условия задачи, является вектором нормали
\vec{s} = \vec{N} = (1;-8;6) плоскости.
Применим уравнение плоскости в координатной форме
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0
Подставляем координаты точки и вектора нормали к плоскости
1*(x-0)-8(y-0)+6(z-0) = 0 => x-8y+6z = 0
Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точку O, перпендикулярно прямой AC равно
x-8y+6z = 0