Даны координаты вершин пирамиды ABCO. A (2,0,4), B (28,-8,10), C (4,-16,16), O(0,0,0) Требуется найт

3) Уравнение прямой, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости ABC. Найти точку пересечения этой прямой с плоскостью ABC.
Уравнение плоскости ABC было найдено в п.1 \(3y+4z-16 = 0\), рассмотрим его.
Вспомним общее уравнение плоскости \(Ax+By+Cz+D = 0\), где вектор \( \vec{N} = (A;B;C)\) - вектор нормали к плоскости. В найденном уравнении плоскости вектор нормали имеет следующие координаты \(\vec{N} = (0;3;4)\)

Вспомним каноническое уравнение прямой \(\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{p} \quad (1) \), где 
координаты \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты точки, принадлежащей прямой,
вектор \(\vec{s} = (m;n;p)\) - координаты направляющего вектора (вектор параллелен прямой).
Т.к. искомая прямая перпендикулярна плоскости, то вектора \(\vec{N} = \vec{s}\) 
Подставляем результат в уравнение прямой  $$\frac{x-0}{0}=\frac{y-0}{3}=\frac{z-0}{4} => \frac{x}{0}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$$

Найдем точку пересечения прямой и плоскости, составим систему уравнений: $$\begin{cases}3y+4z-16 = 0\\ \frac{y}{3}=\frac{z}{4} \\ x=0 \end{cases} => \begin{cases}\frac{9}{4}z+4z=16\\ y=\frac{3}{4}z \\ x=0 \end{cases} =>  \begin{cases}z=\frac{64}{25}\\ y=\frac{48}{25} \\ x=0 \end{cases}$$

Ответ: уравнение ребра AO: \(\frac{x}{0} = \frac{y}{3}=\frac{z}{4}\) , полученное уравнение можно записать в виде \(\frac{y}{3}=\frac{z}{4}, \quad x=0\), получили уравнение прямой в пространстве, проходящей через начало координат, перпендикулярно оси Ox, т.к. координата направляющего вектора \(m=0\)

Координаты точки пересечения прямой AO и плоскости ABC - \((0;\frac{48}{25};\frac{64}{25})\)

Решение:

1) Уравнение грани ABC.
Найдем уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки:  A(2,0,4), B(28, -8,10), C (4,-16,16).
Для решения задачи воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки в координатной форме $$\left|\begin{array}{c}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{array}\right| = 0$$ подставляем координаты вершин $$\left|\begin{array}{c}x-2 & y-0 & z-4\\ 28-2 & -8-0& 10-4 \\ 4-2 & -16-0 & 16-4\end{array}\right|= 0 => \left|\begin{array}{c}x-2 & y & z-4\\ 26 & -8& 6 \\ 2 & -16 & 12\end{array}\right|=0 =>$$ найдем определитель, предварительно для упрощения расчетов проверить операции над строками определителя. Вынесем 2 из строки 3 и вычтем из строки 2 строку 3 3 $$2 \left|\begin{array}{c}x-2 & y & z-4\\ 26 & -8& 6 \\ 1 & -8 & 6\end{array}\right|=0 =>  \left|\begin{array}{c}x-2 & y & z-4\\ 25 & 0& 0 \\ 1 & -8 & 6\end{array}\right|=0 =>$$ Разложим определитель по элементам второй строки (это проще, т.к. во второй строку из трех слагаемых два равны 0) $$25(-1)^{1+2} \left|\begin{array}{c} y & z-4\\   -8 & 6\end{array}\right|=0 => -\left|\begin{array}{c} y & z-4\\   -4 & 3\end{array}\right|=0 => $$$$ -3y-4(z-4) = 0 => 3y+4z-16 = 0$$
Ответ: уравнение грани ABC \(3y+4z-16 = 0\). Из полученного уравнения следует, что грань ABC параллельна оси Ox

2) Уравнение ребра AО.
Для нахождения уравнения ребра  применим формулу уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}\)
Подставляем координаты точек  A (2,0,4), O(0,0,0), получаем $$ \frac{x-2}{0-2} = \frac{y-0}{0-0} = \frac{z-4}{0-4} => \frac{x-2}{-2} = \frac{y}{0} = \frac{z-4}{-4}$$
Ответ: уравнение ребра AO \(\frac{x-2}{-2} = \frac{y}{0} = \frac{z-4}{-4}\), полученное уравнение можно записать в виде \(\frac{x-2}{2} = \frac{z-4}{4}, \quad y=0\) 

4) Уравнение прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AO.
Уравнение прямой AO: \(\frac{x}{0} = \frac{y}{3}=\frac{z}{4}\), вектор направляющей прямой \(\vec{s} = (0;3;4)\)
координаты точки B (28,-8,10)
Вспомним каноническое уравнение прямой \( \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{p} \quad (1) \), где 
координаты \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты точки, принадлежащей прямой,
вектор \(\vec{s} = (m;n;p)\) - координаты направляющего вектора (вектор параллелен прямой).

Прямые параллельные, поэтому их направляющие вектора равны, подставляем координаты в уравнение прямой (1) $$\frac{x-28}{0}=\frac{y+8}{3}=\frac{z-10}{4}$$
Ответ: уравнение прямой, проходящей через точку B параллельно прямой AO \( \frac{x-28}{0}=\frac{y+8}{3}=\frac{z-10}{4}\)

5) Уравнение плоскости, проходящей через точку O, перпендикулярно прямой AC.
Найдем уравнение прямой AC, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} \). Подставим координаты точек A(2;0;4), C (4;-16;16), получаем $$ \frac{x-2}{4-2} = \frac{y-0}{-16-0} = \frac{z-4}{16-4} => \frac{x-2}{2} = \frac{y}{-16} = \frac{z-4}{12} => $$$$\frac{x-2}{1} = \frac{y}{-8} = \frac{z-4}{6}$$
Применим каноническое уравнение прямой \(\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{p} \quad (1) \), где 
координаты \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты точки, принадлежащей прямой,
вектор \(\vec{s} = (m;n;p)\) - координаты направляющего вектора (вектор параллелен прямой).
Из полученного уравнения прямой получим координаты направляющего вектора \(\vec{s} = (1;-8;6)\)
Полученный направляющий вектор \(\vec{s}\) , согласно условия задачи, является вектором нормали \(\vec{s} = \vec{N} = (1;-8;6)\) плоскости.
Применим уравнение плоскости в координатной форме $$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0$$ Подставляем координаты точки и вектора нормали к плоскости $$1*(x-0)-8(y-0)+6(z-0) = 0 => x-8y+6z = 0$$
Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точку O, перпендикулярно прямой AC равно \( x-8y+6z = 0 \)