Исследуем функцию \( y = \ln(x^2-1)^2 \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область определения логарифма, т.е. \( x^2-1 > 0 => |x| >1 \) \(D_f= (-\infty;-1) \cup (1; +\infty) \)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \ln((-x)^2-1)^2 = \ln(x^2-1)^2 \) функция является четной, т.е. она симметрична относительно оси Oy, поэтому далее будем исследовать функцию на интервале \( (1; +\infty) \), график функции на интервале \((-\infty;-1)\) получим путем симметричного переноса графика, полученного на интервале \((1; +\infty) \) относительно оси Oy.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( \ln(x^2-1)^2 = 0 => x^2-1= 1 => x_1 = - \sqrt{2}, x_2 = \sqrt{2} \) , точки пересечения с осью Ox две, одна из них попадает в рассматриваемый интервал \((1; +\infty) \). Координаты точки пересечения с осью Ox \(( \sqrt{2}; 0)\)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили два интервала знакопостоянства на ОДЗ.
интервал \((1; \sqrt{2})\) найдем значение функции в любой точке \( f(1.1) = \ln(x^2-1)^2 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \(( \sqrt{3}; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \( f(2) = \ln(x^2-1)^2 < 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0 \), данная точка не попадает в область определения функции, т.е. точек пересечения осью Oy нет.
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \ln(x^2-1)^2 )' = 2\ln(x^2-1)\frac{1}{x^2-1}2x = \frac{4x\ln(x^2-1)}{x^2-1}$$ приравняем к 0 $$ \frac{4x\ln(x^2-1)}{x^2-1} = 0 => x_1 = 0; \quad x_2= - \sqrt{2} \quad x_3=\sqrt{2}$$ В область определения попадает только две точки \(x_2= - \sqrt{2} \quad x_3=\sqrt{2}\), а в рассматриваемый интервал только точка \(x_3=\sqrt{2}\). Координаты стационарной точки \(( \sqrt{2}; 0) \).
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку на рассматриваемом интервале и делит его на два интервала монотонности.
интервал \((1; \sqrt{2})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1.1) = \frac{4x\ln(x^2-1)}{x^2-1} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((\sqrt{2}; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) = \frac{4x\ln(x^2-1)}{x^2-1} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
для \(x = \sqrt{2}\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((\sqrt{2} ;0)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (\frac{4x\ln(x^2-1)}{x^2-1})'= \frac{4\ln(x^2-1)(x^2-1) + 8x^2\frac{1}{x^2-1}(x^2-1) - 8x^2\ln(x^2-1)}{(x^2-1)^2} =$$$$ = 4\frac{\ln(x^2-1)x^2-\ln(x^2-1) + 2x^2 - 2x^2\ln(x^2-1)}{(x^2-1)^2} = 4\frac{2x^2 - \ln(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1)^2} $$ Приравняем к нулю $$ 4\frac{2x^2 - \ln(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1)^2} = 0 => x= \pm 2.58$$
На рассматриваемом интервале \((1; +\infty)\) функция имеет точку возможного перегиба. Рассмотрим выпуклость функции в пределах рассматриваемого интервала.
интервал \((1; 2.58)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = 4\frac{2x^2 - \ln(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1)^2} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((2.58; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(3) = 4\frac{2x^2 - \ln(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1)^2} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
На рассматриваемом интервале функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю - точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку
точка \(x = 2.58\): \(\quad + \quad 0 \quad - \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
Координаты точек перегиба \(( 2.58; 3 )\)
8. Асимптоты.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \ln(x^2-1)^2 \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x} =k $$ Находим предел $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln(x^2-1)^2}{x} = \lim_{x \to +\infty}\frac{2x-1)^2}{x^2-1} =0$$ получили \(k=0\) график функции наклонной асимптоты не имеет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем предел $$\lim_{x \to \infty} \ln(x^2-1)^2 = \infty$$ график функции горизонтальной асимптоты не имеет .
Вертикальная асимптота.
Рассмотрим поведение функции на границе области определения в рассматриваемом интервале \( x = 1\)
$$ \lim_{x \to 1+0} \ln(x^2-1)^2 = +\infty $$ в окрестности правой границы график функции стремится в \( + \infty\)
9. График функции.
Построим график функции, при построении учтем, что функция четная, т.е. симметричная относительно оси Oy.
