Решение: в задании не сказано какая ось является мнимой, а какая действительной, поэтому рассмотрим два случая:
1. действительная ось - ось Ox.
каноническое уравнение гиперболы с действительной осью Ox имеет вид \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1\).
Найдем действительную полуось \(a\) и мнимую полуось \(b\)
Согласно условия задачи, расстояние между фокусами равно \(2c=10 => c=5\) .
Т.к. вершины лежат на действительной оси, то расстояние между вершинами равно \(2a = 8 => a=4\).
Воспользуемся формулой связи между полуосями и фокусным расстоянием \(c^2=a^2+b^2\) , находим мнимую полуось $$b = \sqrt{c^2-a^2} = \sqrt{5^2-4^2} =3$$ Подставляем результат в каноническое уравнение гиперболы $$ \frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{3^2}=1$$
2. действительная ось - ось Oy.
каноническое уравнение гиперболы с действительной осью Oy имеет вид \( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} =1\).
Найдем действительную полуось \(b\) и мнимую полуось \(a\)
Согласно условия задачи, расстояние между фокусами равно \(2c=10 => c=5\) .
Т.к. вершины лежат на действительной оси, то расстояние между вершинами равно \(2b = 8 => b=4\).
Воспользуемся формулой связи между полуосями и фокусным расстоянием \(c^2=a^2+b^2\) , находим мнимую полуось $$a = \sqrt{c^2-b^2} = \sqrt{5^2-4^2} =3$$ Подставляем результат в каноническое уравнение гиперболы $$ \frac{y^2}{4^2} - \frac{x^2}{3^2} =1$$
