Решение: найдем производную неявной функции \(y(x)\), заданную уравнением \(x^3+ax^2y+bxy^2+y^3=0\).
Алгоритм нахождения производную функции, заданной неявно.
1. Введем обозначение F(x;y) - функция двух переменных \(F(x;y) = х^3+ax^2y+bxy^2+y^3=0 \).
2. Найдем частные производные функции двух переменных \(F(x;y)\) по x и y
$$F'_x = \frac{\partial F}{\partial x} = (x^3+ax^2y+bxy^2+y^3)'_x = $$ при этом считаем \(y = const \) $$ = 3x+2axy+by^2$$
$$F'_y = \frac{\partial F}{\partial y} = ( x^3+ax^2y+bxy^2+y^3)'_y = $$ при этом считаем \(x = const \) $$ = ax^2+2bxy+3y^2$$
3. Найдем производную неявно заданной функции по формуле $$\frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x}{F'_y} = -\frac{ 3x+2axy+by^2 }{ax^2+2bxy+3y^2} $$
Для проверки результата, применим второй способ:
найдем производную функции \((F(x;y))'_x\), при этом учтем, что \(y\) - функция \(y(x)\) и ее производная ищется по формуле сложной функции.
Найдем производную $$ (F(x;y))'_x = (x^3+ax^2y+bxy^2+y^3)_x =>$$$$ 3x^2+2axy+ax^2yy'+by^2+bx2yy'+3y^2y'=0 $$ вынесем за скобки \(y'\), получим $$y'(ax^2y+2bxy+3y^2)=-(3x^2+2axy++by^2) =>$$$$y' =- \frac{3x^2+2axy+by^2}{ax^2y+2bxy+3y^2} $$
Ответ: производная функции заданной неявно \(х^3+ax^2y+bxy^2+y^3=0\) равна \(\frac{dy}{dx} = - \frac{3x^2+2axy++by^2}{ax^2y+2bxy+3y^2}\).
