Решение: дифференциальное уравнение \(2(x+y)dy + (3x+3y-1)dx=0\) можно привести к следующему виду \( \frac{dy}{dx}= -\frac{3x+3y-1}{2(x+y)}\) получили уравнение следующего вида \( \frac{dy}{dx} = f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2})\) - дифференциальное уравнение, которое сводится к однородному.
Алгоритм решения дифференциального уравнения, которое сводится к однородному
1. Найдем значение определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных \(\triangle = \left|\begin{array}{c}a_1 & b_1\\ a_2 & b_2\end{array}\right|\), $$ \triangle = \left|\begin{array}{c} 3 & 3\\ 2 & 2 \end{array}\right| = 0$$ получили, что в определителе коэффициенты рядов линейно зависимые, т.е. 3x+3y = \alpha (2x+2y). Данный вид дифференциальных уравнений решается методом замены.
2. Введем замену вида \(a_2x + b_2y=z => a_2+b_2\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} => \frac{dy}{dx} = \frac{1}{b_2}(\frac{dz}{dx} - a_2)\).
Вводим замену (можно сразу подставить коэффициенты в полученную формулу) \(x+y=z => 1+\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} => \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} -1\).
3. Подставляем замену в дифференциальное уравнение $$\frac{dy}{dx}= -\frac{3x+3y-1}{2(x+y)} => \frac{dz}{dx} -1= -\frac{3z-1}{2z} =>$$$$ \frac{dz}{dx} = -\frac{3z-1}{2z}+1 => \frac{dz}{dx} = \frac{1-z}{2z} => $$ получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, разделим переменные $$\frac{2z}{1-z}dz = dx =>$$ интегрируем обе части дифференциального уравнения $$ \int \frac{2z}{1-z}dz = \int dx => -2\int \frac{z-1+1}{z-1}dz = x +C$$$$ \int (1 + \frac{1}{z-1})dz = -\frac{x}{2} +C_1 => z+\ln(z-1) = -\frac{x}{2} +C_1$$ применяем обратную замену \(z = x+y\) $$ x+y+ \ln(x+y-1) = -\frac{x}{2} +C_1 => \ln(x+y-1) = -y - \frac{3}{2}x +C_1 =>$$$$ x+y-1 = e^{-y - \frac{3}{2}x +C_1} => $$получили трансцендентное алгебраическое уравнение, поэтому для получения ответа вида \(y = f(x)\) можно применить W-Функцию Ламберта, проведем преобразования $$ (x+y-1)e^{x+y-1} = e^{-y - \frac{3}{2}x +C_1}e^{x+y-1} => (x+y-1)e^{x+y-1} = e^{-y - \frac{3}{2}x +C_1+x+y-1} =>$$$$(x+y-1)e^{x+y-1} = e^{- \frac{1}{2}x +C_1-1} =>$$ применяем W-Функцию Ламберта, получаем $$ x+y-1 = W(e^{- \frac{1}{2}x +C_1-1}) => y = W(e^{- \frac{1}{2}x +C_1-1})-x+1$$
4. Найдем честное решение, удовлетворяющее начальному условию \(y(0)=2\)
Подставим в решение дифференциального уравнения начальное условие и найдем значение константы \(C_1\). Подставляем $$ x+y-1 = e^{-y - \frac{3}{2}x +C_1}; \quad y(0)=2 => 0+2-1 = e^{-2 - \frac{3}{2}*0 +C_1} =>$$$$ 1 = e^{ -2 +C_1} => -2 +C_1 = 0 => C_1=2$$
Ответ: решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию \(y(0)=2\) равно \(x+y-1 = e^{-y - \frac{3}{2}x +2}\) или с применением W-Функции Ламберта \(y = W(e^{- \frac{1}{2}x +1})-x+1\)
