Решение: проверим, является ли линейное дифференциальное уравнение первого порядка \( (x^4+6x^2y^2+y^4)dx + 4xy(x^2+y^2)dy = 0 \) уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение вида \(M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 \) будет уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полным дифференциалом некоторой функции, т.е. будет выполняться равенство \(\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}\).
Решаем дифференциальное уравнение
1. Находим частные производные $$ \frac{\partial }{\partial y}(x^4+6x^2y^2+y^4) = 12x^2y + 4y^3$$$$ \frac{\partial }{\partial x}(4xy(x^2+y^2)) = 12x^2y + 4y^3$$ получили равные частные производные, т.е. уравнение является линейным дифференциальным уравнением первой степени в полных дифференциалах, Таким образом существует функция \(u(x,y)\), такая что $$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = x^4+6x^2y^2+y^4$$$$\frac{\partial u(x,y)}{\partial y} = 4xy(x^2+y^2)$$
2. Проинтегрируем например \( 4xy(x^2+y^2)dy\), получим $$u(x,y) = $$$$ = \int 4xy(x^2+y^2)dy = 2x^3y^2 + xy^4 + \phi(x) \quad (1)$$
3. Ищем функцию \(\phi(x)\).
Для нахождения функции \(\phi(x)\) найдем производную функции \(u(x,y)\) по \(x\) и приравняем ее к известной частной производной по \(x\) это \(x^4+6x^2y^2+y^4\), получаем $$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}( 2x^3y^2 + xy^4 + \phi(x)) =$$$$ = 6x^2y^2 + y^4 + \phi'(x) =>$$приравняем полученную производную с частью уравнения при \(dx\)$$ 6x^2y^2 + y^4 + \phi'(x) = x^4+6x^2y^2+y^4 =>$$$$ d(\phi(x)) = x^4dx$$ интегрируем обе части уравнения $$ \phi(x) = \int x^4dx = \frac{1}{5}x^5$$
4. Находим полный интеграл дифференциального уравнения.
Подставляем в функцию \(u(x,y)\) формула (1), получаем $$u(x,y) = 2x^3y^2 + xy^4 + \phi(y) => $$$$u(x,y) = 2x^3y^2 + xy^4 + \frac{1}{5}x^5$$ Получили полный интеграл дифференциального уравнения $$ 2x^3y^2 + xy^4 + \frac{1}{5}x^5= C => $$ решаем квадратное уравнение относительно \(y^2\) $$ y_{1,2}^2 = \frac{-2x^3 \pm \sqrt{4x^6 -4x(\frac{1}{5}x^5-C)}}{2x} => $$$$ y_{1,2}^2 = \frac{-5x^3 \pm \sqrt{5}\sqrt{4x^6-xC}}{5x} => $$$$ y_{1,2,3,4} = \pm \sqrt{\frac{-5x^3 \pm \sqrt{5}\sqrt{4x^6-xC}}{5x}}$$
5. Подставляем начальные условия \(y(0)=1\)
$$y(1) = 0 => \pm \sqrt{\frac{-5*1^3 \pm \sqrt{5}\sqrt{4*1^6-1*C}}{5*1}} = 0 => C = -1$$ Учтем, что мы ищем действительное решение, т.е. решения \( y_{3,4} = \pm \sqrt{\frac{-5x^3 - \sqrt{5}\sqrt{4x^6+x}}{5x}}\) - не являются действительными, то остаются \( y_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{-5x^3 + \sqrt{5}\sqrt{4x^6+x}}{5x}}\)
Ответ: решение линейного дифференциального уравнения \( (x^4+6x^2y^2+y^4)dx + 4xy(x^2+y^2)dy = 0 \) при начальных условиях \(y(1) = 0\) равно \( y_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{-5x^3 + \sqrt{5}\sqrt{4x^6+x}}{5x}}\)
