Решим дифференциальное уравнение: \(xy+y^2=(2x^2 +xy)y' \)
Решение:
Определение: однородные дифференциальные уравнения могут быть представлены в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\) или \(M(x,y)dy + N(x,y)dy = 0\), где \(M(x,y)\) и \(NM(x,y)\) - однородные функции одинаковой степени. Для решения этих однородных дифференциальных уравнений применяется замена \(y = ux => dy = udx + xdu\) в результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем уравнение: $$xy+y^2=(2x^2 +xy)y'=>$$проведем преобразования этого дифференциального уравнения $$ \frac{y}{x}+(\frac{y}{x})^2=(2 + frac{y}{x})y'= >$$ это однородное дифференциальное уравнение первой степени вида \(y' = f(\frac{y}{x})\). Для решения дифференциального уравнения применяем замену \(y= ux => y' = u'x+u\), получаем $$ u+ u^2=(2 + u)(u'x + u) => u+ u^2=2u'x + 2u +uu'x + u^2 => $$$$ 2u'x + u +uu'x =0 => u'x(2 +u) = -u$$ получили дифференциальное уравнение уравнение первой степени с разделяющимися переменными, решим его, разделим переменные (x и u перенесем а разные стороны уравнения) $$ \frac{du}{dx}x(2 +u) = -u => \frac{2 +u}{u}du = -\frac{dx}{x} $$ интегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{2 +u}{u}du = -\int \frac{dx}{x} => 2\ln(u)+u = -\ln(x) + \ln(C) =>$$$$ \ln(u)+\frac{1}{2}u = \frac{1}{2}\ln(\frac{C}{x}) => \ln(u)+\frac{1}{2}u = \ln(\sqrt{\frac{C}{x}}) =>$$$$ \ln(ue^{\frac{u}{2}}) = \ln(\sqrt{\frac{C}{x}}) => ue^{\frac{u}{2}} = \sqrt{\frac{C}{x}} =>$$ Примени обратную замену \(y = ux => u = \frac{y}{x}\), получаем $$ \frac{y}{x}e^{\frac{y}{2x}} = \sqrt{\frac{C}{x}} => y = xe^{-\frac{y}{2x}}\sqrt{\frac{C}{x}} $$
Ответ: \( y = xe^{-\frac{y}{2x}}\sqrt{\frac{C}{x}} \)
