Решим дифференциальное уравнение: найдем решение дифференциального уравнения \( \frac{\sqrt{1+\cos(2x)}}{1+\sin(y)} +y'=0\), которое удовлетворяет начальным условиям \(y( \frac{ \pi}{4})=0\)
Решение:
Определение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными (линейное однородное уравнение). Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение $$ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$
Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения $$ \frac{\sqrt{1+\cos(2x)}}{1+\sin(y)} + y' = 0 => \frac{\sqrt{1+\cos(2x)}}{1+\sin(y)} = - \frac{dy}{dx} =>$$ переносим все члены с переменной \( y \) в одну часть уравнения, а с \(x \) в другую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим $$ \sqrt{1+\cos(2x)}dx = - (1+\sin(y))dy => $$ интегрируем правую и левую части уравнения $$ \int \sqrt{1+\cos(2x)}dx = - \int (1+\sin(y))dy => $$ применим формулу косинуса двойного угла \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\) и формулу основного тригонометрического тождества \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), получаем \(\sqrt{1+\cos(2x)} = \sqrt{ \sin^2(x)+\cos^2(x)+\cos^2(x) - \sin^2(x)} = \sqrt{2}\cos(x)\), подставляем в дифференциальное уравнение $$\int \sqrt{2}\cos(x)dx = - \int (1+\sin(y))dy => \sqrt{2}\sin(x) = -y + \cos(y) + C$$
Подставим начальные условия \(y( \frac{ \pi}{4})=0\), получим $$ \sqrt{2}\sin( \frac{ \pi}{4}) = - 0 + \cos(0) + C => \sqrt{2} \frac{ \sqrt{2}}{2} = 1 + C => C=0$$ Получили частное решение дифференциальное уравнение \( \sqrt{2}\sin(x) = -y_{част} + \cos(y_{част}) \)
Ответ: \( \sqrt{2}\sin(x) = -y_{част} + \cos(y_{част}) \)
