Решим дифференциальное уравнение: найдем решение дифференциального уравнения \( y' = sh(x+y) + sh(x-y) \).
Решение:
Определение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными (линейное однородное уравнение). Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение $$ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$
Проведем преобразования:
применим формулу гиперболического синуса суммы двух переменных \( sh(x \pm y) = sh(x)ch(y) \pm ch(x)sh(y)\) подставляем в дифференциальное уравнение $$ y' = sh(x+y) + sh(x-y) => $$$$ y' = sh(x)ch(y) + ch(x)sh(y) + sh(x)ch(y) - ch(x)sh(y) => $$$$ y' = 2sh(x)ch(y)$$
Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения $$ \frac{dy}{dx} = 2sh(x)ch(y) => $$ переносим все члены с переменной \( y \) в одну часть уравнения, а с \(x \) в другую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. В данном случае проверка не нужно , т.к. по области значения известно, что \( ch(x) \ne 0\). Получим $$ \frac{dy}{ ch(y)} = 2sh(x)dx => $$ интегрируем правую и левую части уравнения $$ \int \frac{dy}{ ch(y)}dy = \int 2sh(x)dx => $$ применим формулу табличного интеграла от гиперболического синуса \(\int sh(x)dx = ch(x) + C\), получаем $$ \int \frac{dy}{ ch(y)}dy = 2(ch(x) + C) => $$ Применим табличный интеграл \( \int \frac{dy}{ ch(y)}dy = \ln( ch(y)) +C \), подставляем $$ \ln( ch(y)) = 2ch(x) + C_1 => e^{\ln( ch(y))} = e^{2ch(x) + C_1} =>$$$$ ch(y) = e^{2ch(x) + C_1} => y = arch(e^{2ch(x) + C_1})$$
Ответ: \( y = arch(e^{2ch(x) + C_1})\) является решением дифференциального уравнения \( y' = sh(x+y) + sh(x-y)\).
