Решим дифференциальное уравнение: \( x\sqrt{1+y^2}dx+y\sqrt{1+x^2}dy = 0 \)
Решение:
Определение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными (линейное однородное уравнение). Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение $$ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$
Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения $$ x\sqrt{1+y^2}dx+y\sqrt{1+x^2}dy = 0 => $$$$ x\sqrt{1+y^2}dx = -y\sqrt{1+x^2}dy =>$$ переносим все члены с переменной \( y \) в одну часть уравнения, а с \(x \) в другую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим $$ \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = -\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy => $$ интегрируем правую и левую части уравнения $$ \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = -\int \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy => \quad (1)$$ Для нахождения каждого интеграла используем метод замен независимой переменной. Найдем для примера интеграл \( \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = \) введем замену \(1+x^2 = t^2 => xdx = tdt\). Подставляем \( = \int \frac{t}{\sqrt{t^2}}dt = t+C \). Применяем обратную замену \(t = \sqrt{1+x^2}\), получаем \( \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = \sqrt{1+x^2} + C\), подставляем результат в (1) $$ \sqrt{1+x^2} = -\sqrt{1+y^2} + C => $$$$ (C - \sqrt{1+x^2})^2 = 1+y^2 =>$$$$ C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+ 1+x^2 = 1+y^2 => $$$$ y^2 = C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+x^2 =>$$$$ y_{1,2} = \pm \sqrt{C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+x^2} $$
Ответ: \( y_{1,2} = \pm \sqrt{C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+x^2} \)
