Решим дифференциальное уравнение: x\sqrt{1+y^2}dx+y\sqrt{1+x^2}dy = 0
Решение:
Определение: уравнение вида \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
называется уравнением с разделяющимися переменными (линейное однородное уравнение). Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение
\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx
Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения
x\sqrt{1+y^2}dx+y\sqrt{1+x^2}dy = 0 =>
x\sqrt{1+y^2}dx = -y\sqrt{1+x^2}dy =>
переносим все члены с переменной
y в одну часть уравнения, а с
x в другую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим
\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = -\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy =>
интегрируем правую и левую части уравнения
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = -\int \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy => \quad (1)
Для нахождения каждого интеграла используем метод замен независимой переменной. Найдем для примера интеграл
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = введем замену
1+x^2 = t^2 => xdx = tdt. Подставляем
= \int \frac{t}{\sqrt{t^2}}dt = t+C . Применяем обратную замену
t = \sqrt{1+x^2}, получаем
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = \sqrt{1+x^2} + C, подставляем результат в (1)
\sqrt{1+x^2} = -\sqrt{1+y^2} + C =>
(C - \sqrt{1+x^2})^2 = 1+y^2 =>
C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+ 1+x^2 = 1+y^2 =>
y^2 = C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+x^2 =>
y_{1,2} = \pm \sqrt{C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+x^2}
Ответ:
y_{1,2} = \pm \sqrt{C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+x^2} 
