Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Решить дифференциальное уравнение x\sqrt{1+y^2}dx+y\sqrt{1+x^2}dy = 0


0 Голосов
Панченко Ната
Posted Январь 17, 2015 by Панченко Наталья Сергеевна
Категория: Дифференциальные уравнения
Всего просмотров: 1988

Решить дифференциальное уравнение x\sqrt{1+y^2}dx+y\sqrt{1+x^2}dy = 0

Теги: решить дифференциальное уравнение, однородное линейное дифференциальное уравнение

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Январь 17, 2015 by Вячеслав Моргун

Решим дифференциальное уравнение x\sqrt{1+y^2}dx+y\sqrt{1+x^2}dy = 0
Решение:
Определение: уравнение вида \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)

называется уравнением с разделяющимися переменными (линейное однородное уравнение). Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx

Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения  x\sqrt{1+y^2}dx+y\sqrt{1+x^2}dy = 0 =>
x\sqrt{1+y^2}dx = -y\sqrt{1+x^2}dy  =>
 переносим все члены с переменной y в одну часть уравнения, а с x в другую. Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. Получим   \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = -\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy  => 
 интегрируем правую и левую части уравнения \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = -\int \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy => \quad (1)
Для нахождения каждого интеграла используем метод замен независимой переменной. Найдем для примера интеграл  \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx =  введем замену 1+x^2 = t^2 => xdx = tdt. Подставляем = \int \frac{t}{\sqrt{t^2}}dt = t+C . Применяем обратную замену t = \sqrt{1+x^2}, получаем  \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = \sqrt{1+x^2} + C, подставляем результат в (1)  \sqrt{1+x^2}  = -\sqrt{1+y^2} + C =>
(C - \sqrt{1+x^2})^2  = 1+y^2  =>
 C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+ 1+x^2  = 1+y^2 =>
y^2 = C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+x^2 =>
y_{1,2} = \pm \sqrt{C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+x^2} 

Ответ: y_{1,2} = \pm \sqrt{C^2 - 2C\sqrt{1+x^2}+x^2}