Знайти частинні похідні $\frac{\partial z}{\partial x}$ i $\frac{\partial z}{\partial y}$ функці

Решение: найдем частные производные функции двух переменных $z= \cos^{3}(4xy^2-2x^3)$
1. частная производная функции по $x$, $z'_x$. Считаем $y$ постоянной и дифференцируем функцию  $z(x;y)$ как функцию от одной переменной $x$, т.е. находим производную $z'(x)$

$$z'_x = \frac{\partial \cos^{3}(4xy^2-2x^{3})}{\partial x}  =$$  применяем формулу производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ $$=  3\cos^{2}(4xy^2-2x^3)*\frac{\partial \cos(4xy^2-2x^3)}{\partial x} =$$ повторно применяем формулу производной сложной функции $$=  3\cos^{2}(4xy^2-2x^3)*(-\sin(4xy^2-2x^3))*\frac{ \partial (4xy^2-2x^3)}{ \partial x} =$$ третий раз применяем формулу производной сложной функции $$=  -3\cos^{2}(4xy^2-2x^3)\sin(4xy^2-2x^3)(4y^2-6x^2)$$

Ответ:  частная производная $z'_x= \frac{\partial \cos^{3}(4xy^2-2x^{3})}{\partial x} =  -3\cos^{2}(4xy^2-2x^3)\sin(4xy^2-2x^3)(4y^2-6x^2)$

2. частная производная функции по $y$, $z'_y$. Считаем $x$ постоянной и дифференцируем функцию $z(x;y)$ как функцию от одной переменной $y$, т.е. находим производную $z'(y)$
$$z'_y = \frac{\partial \cos^{3}(4xy^2-2x^3)}{\partial y} =$$ применяем формулу производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ $$= 3\cos^{2}(4xy^2-2x^3)\frac{\partial \cos(4xy^2-2x^3)}{\partial y}  =$$  повторно применяем формулу производной сложной функции  $$= 3\cos^{2}(4xy^2-2x^3) (-\sin(4xy^2-2x^3)) \frac{\partial (4xy^2-2x^3)}{\partial y}  =$$  третий раз применяем формулу производной сложной функции  $$=  -24xy \cos^{2}(4xy^2-2x^3) \sin(4xy^2-2x^3)$$

Ответ:  частная производная $z'_y= \frac{\partial \cos^{3}(4xy^2-2x^{3})}{\partial y} =  -24xy \cos^{2}(4xy^2-2x^3) \sin(4xy^2-2x^3)$