Решение: найдем частные производные функции двух переменных \(z= \cos^{3}(4xy^2-2x^3) \)
1. частная производная функции по \(x\), \(z'_x\). Считаем \(y\) постоянной и дифференцируем функцию \(z(x;y)\) как функцию от одной переменной \(x\), т.е. находим производную \(z'(x)\)
$$z'_x = \frac{\partial \cos^{3}(4xy^2-2x^{3})}{\partial x} =$$ применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\) $$ = 3\cos^{2}(4xy^2-2x^3)*\frac{\partial \cos(4xy^2-2x^3)}{\partial x} = $$ повторно применяем формулу производной сложной функции $$= 3\cos^{2}(4xy^2-2x^3)*(-\sin(4xy^2-2x^3))*\frac{ \partial (4xy^2-2x^3)}{ \partial x} = $$ третий раз применяем формулу производной сложной функции $$= -3\cos^{2}(4xy^2-2x^3)\sin(4xy^2-2x^3)(4y^2-6x^2) $$
Ответ: частная производная \(z'_x= \frac{\partial \cos^{3}(4xy^2-2x^{3})}{\partial x} = -3\cos^{2}(4xy^2-2x^3)\sin(4xy^2-2x^3)(4y^2-6x^2)\)
2. частная производная функции по \(y\), \(z'_y\). Считаем \(x\) постоянной и дифференцируем функцию \(z(x;y)\) как функцию от одной переменной \(y\), т.е. находим производную \(z'(y)\)
$$ z'_y = \frac{\partial \cos^{3}(4xy^2-2x^3)}{\partial y} = $$ применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\) $$ = 3\cos^{2}(4xy^2-2x^3)\frac{\partial \cos(4xy^2-2x^3)}{\partial y} = $$ повторно применяем формулу производной сложной функции $$ = 3\cos^{2}(4xy^2-2x^3) (-\sin(4xy^2-2x^3)) \frac{\partial (4xy^2-2x^3)}{\partial y} = $$ третий раз применяем формулу производной сложной функции $$ = -24xy \cos^{2}(4xy^2-2x^3) \sin(4xy^2-2x^3)$$
Ответ: частная производная \(z'_y= \frac{\partial \cos^{3}(4xy^2-2x^{3})}{\partial y} = -24xy \cos^{2}(4xy^2-2x^3) \sin(4xy^2-2x^3)\)
