Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти площадь фигуры, огрниченной линиями:y=x+1,y=0,x=2,x=3


0 Голосов
Кристина Ипсе
Posted Январь 14, 2015 by Кристина Ипсен
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 9372

Найти площадь фигуры, огрниченной линиями:y=x+1,y=0,x=2,x=3

Теги: найти площадь фигуры ограниченную линиями, вычислить площадь плоских фигур

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Январь 14, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение:
Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными кривыми применим два метода.
1. Определенный интеграл и его геометрический смысл.
Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если функция \(f(x) \geq 0\) на отрезке \([a;b], a < b\), то определенный интеграл \(\int_a^bf(x)dx \quad\) равен площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной линиями:
сверху \(y = f(x)\) 
справа, слева \(x=a; x=b\)  
снизу \(y=0\) 


Согласно условия задачи, фигура ограниченная линиями \(y=x+1,y=0,x=2,x=3\), т.е. для нахождения площади фигуры применим определенный интеграл, применим формулу (1), получим $$S = \int_2^3(x+1)dx = $$ Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем $$ = \frac{x^2}{2}+x |_2^3 = \frac{3^2}{3}+3 - \frac{2^2}{2} - 2 =  \frac{5}{2} +1 = \frac{7}{2}$$
Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна \(S = \frac{7}{2}\)


2. Площадь фигуры на декартовой системе координат.
Построим графики заданных функций на декартовой системе координат и найдем искомую фигуру.



Из рисунка видно, что заданная фигура - прямоугольная трапеция ABCD.


Площадь трапеции находится по формуле \(S = \frac{a+b}{2}h\), где \(a;b\) - основания трапеции \(h\) - высота трапеции.


Найдем координаты вершин трапеции. 
\(A(2;0) , \quad  B(2;y(2)) => B(2;3) , \quad C(3;y(3)) => C(3;4), \quad  D(3;0) \)


Найдем основания трапеции. 
Основание \(AB = 3-0=3\)
Основание \(CD = 4-0=4\) 
Высота трапеции \(AD = 3-2=1\) 


Подставляем результат в формулу площади трапеции $$S = \frac{3+4}{2}*1 = \frac{7}{2}$$ 
Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна \(S = \frac{7}{2}\)