Исследуем функцию \( y = 2- \frac{1}{x^2} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \( x^2 \ne 0 => x \ne 0\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 0) \cup (0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x= 0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 0+0} ( 2- \frac{1}{x^2}) = -\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 0-0} (2- \frac{1}{x^2}) = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 0\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = 2- \frac{1}{(-x)^2} = 2- \frac{1}{x^2} = f(x)\) функция является четной, т.е. симметричной относительно оси Oy, поэтому далее будем исследовать график функции на интервале \((0; +\infty)\), а график на интервале \((-\infty;0)\) получим путем симметричного переноса относительно оси Oy.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( 2- \frac{1}{x^2} = 0 => \frac{2x^2-1}{x^2} = 0 => x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox с координатами \((-\frac{1}{\sqrt{2}};0)\) и \((\frac{1}{\sqrt{2}};0).\)
Интервалы знакопостоянства функции. На рассматриваемом интервале \((0; +\infty)\) кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это \(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\) , т.е. два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((0; \frac{1}{\sqrt{2}})\) найдем значение функции в любой точке \(f(\frac{1}{2}) =2- \frac{1}{x^2} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \(( \frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = 2- \frac{1}{x^2} > 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: точек пересечения с осью \(Oy\) - нет, т.к. точка x=0 не попадает в ОДЗ функции
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$ y' = (2- \frac{1}{x^2})' = \frac{2}{x^3} $$ приравняем к 0 $$\frac{2}{x^3} = 0 => $$ функция не имеет критических (стационарных) точек.
Интервалы монотонности.
Функция не имеет критических точек на рассматриваемом интервале ОДЗ \((0; +\infty)\), т.е. она не меняет монотонности на этом интервале
интервал \(( 0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = \frac{2}{x^3} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции. Функция не имеет критических точек (точек возможного экстремума), т.е. нет и экстремумов
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (\frac{2}{x^3})'= - \frac{6}{x^4}$$Приравняем к нулю $$- \frac{6}{x^4}= 0 => $$ Функция не имеет точек перегиба. На рассматриваемом интервале \((0;\infty)\) т.е. функция не меняет выпуклости на этом интервале
интервал \((0; \infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = - \frac{6}{x^4} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек перегиба.
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет одну вертикальную асимптоту x =0 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= 2- \frac{1}{x^2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} ( \frac{2^2 - 1}{x^3}) = 0 => k= 0 $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$, т.к. \(k = 0\) - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}(2- \frac{1}{x^2})= 2$$
Горизонтальной асимптота \(y=2\)
Определим, с какой стороны график приближается к асимптоте $$ \lim_{x \to \infty}(2 - (2- \frac{1}{x^2})) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = +0 $$ График функции приближается к асимптоте снизу при \(x \to \pm\infty\)
9. График функции.
При построении графика учтем его четность, т.е. симметричность относительно оси \(Oy\)
