Найти предел не используя правило Лопиталя: \lim_{x \to 0}x*ctg(5x)
Решение: найдем предел \lim_{x \to 0}x*ctg(5x) = 0*\infty
получили неопределенность вида
0*\infty . Будем разрешать неопределенность без применения правила Лопиталя.
Проведем преобразования
\lim_{x \to 0}x*ctg(5x) = \lim_{x \to 0}x\frac{ \cos(5x)}{ \sin(5x)} =
Воспользуемся первым замечательным пределом
\lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} = 1
Преобразуем предел к первому замечательному пределу
= \lim_{x \to 0}\frac{ \cos(5x)}{ \frac{\sin(5x)}{x}} = \lim_{x \to 0}\frac{ \cos(5x)}{ 5\frac{\sin(5x)}{5x}} =
\frac{ 1}{ 5*1} = \frac{1}{5}
Ответ:
\lim_{x \to 0}x*ctg(5x) = \frac{1}{5}
