Решение: задачу будем решать по следующему алгоритму
1. Найдем уравнение стороны, на которую опускается высота.
Найдем уравнение прямой \(AB\) , а высота будет опускаться из вершины C.
В задании даны координаты трех вершин, для нахождения уравнения стороны применим формулу уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_0}{y_2-y_1} \quad (1)\) подставляем координаты точек $$ \frac{x-1}{-2-1} = \frac{y-2}{0-2} => y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$$
2. Найдем длину высоты.
Длина высоты - расстояние от точки до прямой, которое будем находить по формуле $$ d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \quad (2)$$ где \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты точки, \(Ax_0+By_0+C\) - общее уравнение прямой.
Подставляем координаты и уравнение прямой в (2), предварительно приведем уравнение прямой к общему виду \(y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3} => 2x-3y+4=0\)
$$d = \frac{|2(-1)-3*1+4|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Ответ: длина высоты из вершины C равна \(d_c = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
