Решение: найдем производную функции \(y=х\sqrt{1+x^2}\sin(x)\)
применим формулу производной произведения двух функций \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\).
Преобразуем функцию в задании к произведению двух функций \(y=х\sqrt{1+x^2}\sin(x) = \sqrt{x^2+x^4}\sin(x)\).
Находим производную: $$y' = (\sqrt{x^2+x^4}\sin(x))' = (\sqrt{x^2+x^4})'\sin(x) + \sqrt{x^2+x^4}(\sin(x))'= \quad (1)$$
Для производной функции \((\sqrt{x^2+x^4})'\) применим формулу производной сложной функции \((f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)\), где в нашем случае внешняя функция \(\sqrt{x^2+x^4}\) - степенная функция вида \(x^a\), производная которой находится по формуле \((x^a)' = ax^{a-1}\), а внутренняя функция - это многочлен \(x^2+x^2\), производную которого будем искать по формуле производной степенной функции, получаем
\((\sqrt{x^2+x^4})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+x^4}} *(2x+4x^3) = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}\) подставляем в (1)
$$ (1) = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}\sin(x) + \sqrt{x^2+x^4}\sin(x))' = $$ применяем формулу производной синуса \((\sin(x))' = \cos(x)\) $$ = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}\sin(x) + x\sqrt{1+x^2}\cos(x)$$
Ответ: производная функции \(y'=(х\sqrt{1+x^2}\sin(x))' = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}\sin(x) + x\sqrt{1+x^2}\cos(x)\)
