Найдем производную функции: \( y = (\arcsin(x))^{\cos(x)} \)
Решение: найдем производную методом логарифмирования, т.е. воспользуемся формулой основного логарифмического тождества \( a^{ \log_ax} = x\), получаем $$ y = (\arcsin(x))^{\cos(x)} = e^{ \ln(\arcsin(x))^{\cos(x)}} = e^{\cos(x) \ln(\arcsin(x))}$$Теперь воспользуемся формулой производной показательной функции \( (a^x)' = a^x*\ln a \) и производной сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)\), получаем $$ y' = ( (\arcsin(x))^{\cos(x)})' = ( e^{\cos(x) \ln(\arcsin(x))})' = $$$$ = e^{\cos(x) \ln(\arcsin(x))} *( \cos(x) \ln(\arcsin(x)))' = (\arcsin(x))^{\cos(x)}*( \cos(x) \ln(\arcsin(x)))' = \quad (1)$$Для нахождения производной, воспользуемся формулой производной произведения \(f(x)g(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) $$ ( \cos(x) \ln(\arcsin(x)))' = (\cos(x))' \ln(\arcsin(x))+ \cos(x) (\ln(\arcsin(x))' = $$ $$= -\sin(x)* \ln(\arcsin(x)) + \cos(x)*\frac{1}{\arcsin(x)}*\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ Подставляем в (1), получаем $$ (1) = (\arcsin(x))^{\cos(x)}* [\frac{\cos(x)}{\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}} -\sin(x)\ln(\arcsin(x))]$$
Ответ: \(( (\arcsin(x))^{ \cos(x)})' = (\arcsin(x))^{ \cos(x)}* [\frac{\cos(x)}{\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}} -\sin(x)\ln(\arcsin(x))] \)
