Решение:
1. верно ли, что прямая \(4x=4y=z\) и плоскость \(2x+2y-z=9\) параллельны.
условием параллельности прямой и плоскости в векторной форме является произведение векторов $$ \vec{N}*\vec{s} = 0$$ где \( \vec{s}\) - направляющий вектор прямой с координатами \( \vec{s}=(m,n,p)\)
\( \vec{N}\) - вектор нормали к плоскости с координатами \( \vec{N}=(A,B,C)\).
Скалярное произведение двух векторов в координатной форму будет иметь вид $$Am+Bn+Cp=0 \quad (1)$$ получили условие параллельности прямой и плоскости в координатной форме.
Согласно условия задачи, дана прямая \(4x=4y=z => \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{4}\) => получаем координаты направляющего вектора\(\vec{s} = (1;1;4)\)
Согласно условия задачи, дана плоскость \( 2x+2y-z=9\) => получаем координаты вектора нормали \(\vec{N} = (2;2;-1)\)
Проверяем на параллельность прямой и плоскости, подставляем данные в формулу (1) $$Am+Bn+Cp = 2*1+2*1-1*4 = 0$$
Ответ: прямая \(4x=4y=z\) и плоскость \(2x+2y-z=9\) параллельны.
2. Найти расстояние между прямой и плоскостью
для нахождения расстояния от точки до плоскости применим формулу \(d = |\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}| \quad (2)\),
где координаты \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты известной точки прямой.
\(Ax+By+Cz+D=0\) - уравнение заданной плоскости.
Выберем любую точку, которая принадлежит прямой \(4x=4y=z \), пусть это будут координаты \((0;0;0)\).
Из уравнения плоскости \(2x+2y-z=9\) получаем \(A=2;B=2;C=-1;D=-9\). Подставляем в формулу (2)
$$d = |\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}| =>$$ $$d = |\frac{2*0+2*0 -1*0-9}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}| = |\frac{-9}{ 3}| =3$$
Ответ: расстояние от прямой \(4x=4y=z\) до плоскости \(2x+2y-z=9\) равно \(d = 3\).
