Решение:
В задании даны два уравнения пересекающихся плоскостей, получим параметрические уравнения прямой \(a\), чтобы найти координаты двух точек \(M_1\) и \(M_2\), лежащих на прямой \(a\). После этого напишем требуемое уравнение плоскости, проходящей через точку \(М\) и прямую \(a\), как уравнение плоскости, проходящей через три точки \(M_1\), \(M_2\) и \(M\).
Составим систему уравнений из уравнений двух плоскостей и решим ее, найдем координаты двух точек \(М_1\) и \(М_2\) это будут любые две точки (таких точек бесконечное множество), удовлетворяющие системе уравнений $$ \begin{cases} 2x + y - 4z = 2 \\ z=1 \end{cases} => \begin{cases} 2x + y = 6\\ z = 1\end{cases} =>$$ получили координаты двух точек \(M_1(0;6;1), M_2(3;0;1)\) были подобраны с простейшими для расчетов координатами.
Найдем уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки: \(M(2,-1,4), M_1(0;6;1), M_2(3;0;1)\).
Для решения задачи воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки в координатной форме $$\left|\begin{array}{c}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{array}\right| = 0$$ подставляем координаты вершин $$\left|\begin{array}{c} x-2 & y+1 & z-4\\ 0-2 & 6+1 & 1-4 \\ 3-2 & 0+1 & 1-4 \end{array}\right|= 0 => $$$$ \left|\begin{array}{c} x-2 & y+1 & z-4\\ -2 & 7 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right|= 0 => $$найдем определитель, предварительно для упрощения расчетов проверить операции над строками определителя: вычтем из строки 3 строку 2. $$ \left|\begin{array}{c} x-2 & y+1 & z-4\\ -2 & 7 & -3 \\ 3 & -6 & 0 \end{array}\right|= 0 => $$ разделим третью строку на 3 $$ \left|\begin{array}{c} x-2 & y+1 & z-4\\ -2 & 7 & -3 \\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right|= 0 => $$ Разложим определитель по элементам третьей строки (это проще, т.к. в третьей строке один член равен 0) $$ (-1)^{3+1} \left|\begin{array}{c} y+1 & z-4\\ 7 & -3 \end{array}\right| + (-1)^{3+2}(-2)\left|\begin{array}{c} x-2 & z-4\\ -2& -3 \end{array}\right|=0 => $$$$ -3(y+1)-7(z-4) + 2(-3)(x-2)-2(-2)(z-4) = 0 => $$$$ 2x + y + z - 7 = 0$$
Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точку \(M(2,-1,4)\) и линию пересечения плоскостей \(2x+y-4z=2\) и \(z=1\) равно \( 2x + y + z - 7 = 0 \)
